Если для ряда (1) с положительными членами

(6)

то: а) при l < 1 ряд сходится; б) при l > 1 ряд расходится; в) при l = 1 признак ответа не дает.

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для l < 1 (случай l > 1 доказывается аналогично). Возьмем число q такое, что l< q < 1, тогда, начиная с некоторого номера n ³ N выполнено неравенство или откуда u_n < qⁿ для всех n³ N. Отбросим первые N -1 членов в ряде (1), тогда получим ряд

u_N+ u_N+1+ u_N+2+…, (7)

все члены которого меньше соответствующих членов ряда:

q^N + q^N+1+ q^N+2+ ¼ (8)

Этот ряд при q < 1 - убывающая геометрическая прогрессия. Члены ряда (7), начиная с номера n ³ N, меньше членов ряда (8). Из сходимости ряда (8) следует сходимость ряда (7).

Интегральный признак

Пусть члены ряда (1) положительны и не возрастают, т.е. u₁ ³ ³ u₂ ³ u₃ ³ ¼ и пусть f(x) такая непрерывная и невозрастающая функция, что f(1) = u₁, f(2) = u₂, ¼, f(n) = u_n, ¼, тогда справедливы следующие утверждения.

1) Если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд (1).

2) Если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд (1).

На координатной плоскости отметим по оси x значения x=1,2,3,¼, которые соответствуют n=1,2,3,¼, и в каждой точке x=1,2,3,¼ восстановим перпендикуляр, длиной равной u_n. Соединим

все точки плавной линией (см. рис. 2).

y

y = f(x)

u₁ u₂ u₃ u₄

0 1 2 3 4 n n+1 x

Рис. 2

Сумма площадей прямоугольников, построенных таким образом, что основание равно 1, а высота u_n, начиная с n = 1

S_n= u₁+ u₂+ u₃+ …+ u_n >

На рис. 3 сумма площадей всех построенных прямоугольников равна сумме всех членов ряда, начиная со второго до (n+1)-го , т.е.

S_n+1 - u₁ <

y

y =f(x)

u₁ u₂ u₃ u₄

0 1 2 3 4 n n+1 x

Рис. 3

или

S_n+1 < + u₁.

Пусть сходится, т.е. < и S_n < S_n+1 < < + u₁. Это означает, что частичные суммы ограничены при всех n и Ряд сходится.

Пример 6. Установить сходимость ряда с общим членом u_n = = . Запишем (n+1)-ый член ряда

u_n+1 =

Согласно признаку Даламбера

Ряд сходится.

Пример 7. Установить сходимость ряда с общим членом u_n = = Посчитаем

Ряд сходится по признаку Коши.

Пример 8. Установить сходимость гармонического ряда u_n= . Воспользуемся интегральным признаком сходимости, тогда f(x) = .

Несобственный интеграл расходится, а, следовательно, расходится и гармонический ряд.

Знакопеременные ряды

Знакопеременными называются ряды, члены которых поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки.

Знакопеременный ряд удобнее записывать так, чтобы знаки членов были выявлены (при этом считаем все u_n > 0):

u₁ - u₂ + u₃- u₄ + …+ (-1)^n-1 u_n + ¼ (9)

По отношению к подобным рядам Лейбниц доказал следующую простую теорему.

Теорема Лейбница.Если члены знакопеременного ряда (9) монотонно убывают по абсолютной величине, т.е. u_n+1 < u_n (n = 1,2,3,¼), и , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Частичную сумму четного порядка можно записать в виде

S_2m = (u₁- u₂) + (u₃- u₄) + …+ (u_2m-1 - u_2m).

Из условия теоремы следует, что выражения в каждой скобке положительны. Следовательно, частичная сумма четного порядка S_2m > 0 и возрастает с возрастанием m. С другой стороны, если записать эту же сумму так:

S_2m = u₁ - (u₂ - u₃) - (u₄- u₅) - …- (u_2m-2 - u_2m-1) - u_2m,

то каждая из скобок оказывается положительной, т.е. S_2m < u₁, а значит,

Частичная сумма нечетного порядка S_2m+1 = S_2m + u_2m+1. По условию теоремы , а, согласно доказанному, , тогда . Теорема доказана.

Пример 9. Установить сходимость ряда

В этом ряде 1 > > > ¼, . Согласно теореме Лейбница, ряд сходится.

Замечание. Погрешность |S-S_n| ряда (9) не превосходит модуля первого отброшенного слагаемого, т.е. |S-S_n| £ |u_n+1|. Так, в примере 9, погрешность приближения |S-S_n| £ .

Рассмотрим знакопеременный ряд (9) и ряд, составленный из модулей его членов

|u₁| + |u₂| + |u₃| + ¼ + |u_n |+ ¼ (10)

Если ряд (10) сходится, то и данный знакопеременный ряд (9) также сходится (по свойству 3).

Рассмотренный в примере 9 ряд сходится условно, т.к., согласно доказанному в примере 8, соответствующий гармонический ряд расходится.

Степенные ряды

Ряд (1) называют функциональным, если его члены являются функциями от x.

Простейшим функциональным рядом является степенной ряд

a₀ + a₁ x + a₂ x² + ¼ + a_n xⁿ + ¼, (11)

или в более общем виде:

a₀ + a₁( x - x₀ ) + a₂ ( x - x₀ )² + ¼ + a_n ( x - x₀ )ⁿ + ¼ (12)

Ряд (12) не отличается существенно от ряда (11), так как может быть сведен к нему заменой переменной: x - x₀ = y.

Давая x определенные числовые значения, получаем различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.

Совокупность значений x, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда. В области сходимости ряда его сумма является функцией от x и обозначается через S(x).

Можно доказать, что для любого степенного ряда (11) существует конечное или бесконечное число R > 0, такое, что при | x | < R ряд сходится, а при | x | > R ряд расходится. При | x | = R, т.е. при x = R и x = -R, ряд может сходится или расходится. Число R называют радиусом сходимости, а интервал (-R,R) - интервалом сходимости. Для ряда (12) интервал сходимости | x - x₀ | < R или x₀ - R < x < x₀ + R.

Для определения области сходимости степенных рядов можно применить признак Даламбера. Рассмотрим соответствующий степенному ряду (11) ряд, составленный из модулей его членов:

| a₀ | + | a₁ | | x | + | a₂ | | x |² + ¼ + | a_n | | x |ⁿ + ¼ (13)

Если ряд (13) сходится, то сходится и ряд (11).

Согласно признаку Даламбера для сходимости ряда (13) должно выполнятся условие:

,

или |x| < ,

т.е. радиус сходимости определяется через коэффициенты степенного ряда: R = .

Аналогичным образом для определения радиуса сходимости можно воспользоваться и признаком Коши, тогда

.

Отсюда, | x | < , или R = .

Как указывалось выше, сумма степенного ряда представляет собой функцию, определенную в интервале сходимости (-R,R) этого ряда. Можно доказать, что функция

= a₀ + a₁ x + a₂ x² + ¼ + a_n xⁿ + ¼ (11¢)

дифференцируема и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (11¢):

= a₁ + 2 a₂ x + ¼ + n a_n x^n-1 + ¼

при -R < x < R. То же справедливо и для производных второго, третьего и т.д. порядков.

Аналогично, неопределенный интеграл от функции f (x) для всех x из области сходимости может быть получен почленным интегрированием ряда (11¢):

Степенной ряд в области сходимости по отношению к операциям дифференцирования и интегрирования ведет себя как многочлен, что делает степенные ряды удобным средством для приближенных вычислений.