Ряды с положительными членами.

О п р е д е л е н и е. Ряды с положительными членами – это ряды, члены которых не отрицательны.

Рассмотрим числовой ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru ,

где Ряды с положительными членами. - student2.ru Ряды с положительными членами. - student2.ru для такого ряда Ряды с положительными членами. - student2.ru . Значит, последовательность частичных сумм возрастает.

Из теоремы о пределе монотонной последовательности можно сформулировать условие сходимости ряда с положительными членами.

Ряд с положительными членами всегда имеет сумму и эта сумма конечна, а ряд будет сходящимся, если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечна, а ряд расходящимся в противном случае.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Теорема 1 (признак сравнения).Если члены двух числовых рядов Ряды с положительными членами. - student2.ru и Ряды с положительными членами. - student2.ru удовлетворяют неравенству Ряды с положительными членами. - student2.ru для любых n, то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда. Из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Пример. Рассмотрим ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru . Сравним его с гармоническим рядом Ряды с положительными членами. - student2.ru .

Ряды с положительными членами. - student2.ru , Ряды с положительными членами. - student2.ru .

По признаку сравнения данный ряд расходится.

Теорема 2 (признак Даламбера).Если для числового ряда Ряды с положительными членами. - student2.ru существует конечный предел отношения последующего члена ряда к предыдущему

Ряды с положительными членами. - student2.ru , то:

а) при Ряды с положительными членами. - student2.ru ряд сходится;

б) при Ряды с положительными членами. - student2.ru ряд расходится;

в) при Ряды с положительными членами. - student2.ru вопрос о сходимости открыт.

Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимости.

Понятие знакопеременного ряда включает в себя как знакочередующиеся ряды, так и ряды с произвольным чередованием знаков своих членов.

Знакопеременный ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru сходится, если сходится ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru .

В этом случае знакопеременный ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru называют абсолютно сходящимся.

Сходящийся знакопеременный ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru называют условно сходящимся, если ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru расходится.

Пример. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд

Ряды с положительными членами. - student2.ru

Решение:

Ряды с положительными членами. - student2.ru .

Исследуем на сходимость положительный ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru .

Воспользуемся признаком сравнения 1:

Ряды с положительными членами. - student2.ru .

Ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru – сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

По признаку сравнения ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru сходится, поэтому знакопеременный ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru является абсолютно сходящимся.

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Ряды с положительными членами. - student2.ru

Признак Лейбница.

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда Ряды с положительными членами. - student2.ru выполняются следующие условия: 1. Ряды с положительными членами. - student2.ru (монотонное убывание {an}) 2. Ряды с положительными членами. - student2.ru . Тогда этот ряд сходится.

Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Ряды с положительными членами. - student2.ru

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x0), то есть ряд вида

Ряды с положительными членами. - student2.ru

где x0 − действительное число.

Наши рекомендации