Ряды с положительными членами. Признаки сходимости

Ряды с неотрицательными членами часто встречаются в различных приложениях. Сразу отметим основное свойство таких рядов: последовательность частичных сумм ряда с неотрицательными членами является неубывающей.

Теорема

Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Доказательство

По определению сходящегося ряда последовательность его частичных сумм сходится, значит, она необходимо ограничена. Что касается достаточности, то ограниченная монотонная неубывающая последовательность сходится в силу признака сходимости монотонной последовательности.

Определим несколько признаков, позволяющих устанавливать сходимость или расходимость числового ряда.

Теорема

Пусть для двух рядов с неотрицательными членами

	(9.3.1)
	(9.3.2)

выполняется неравенство для всех n. Тогда из сходимости ряда (9.3.2) следует сходимость ряда (9.3.1).

Рассмотрим несколько примеров применения Теоремы 2 по установлению сходимости (расходимости) неотрицательных рядов.

Пример

Исследовать сходимость ряда .

Решение

Поскольку при , а ряд сходится (сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии), то сходится и данный ряд.

Пример

Исследовать сходимость ряда .

Решение

Так как для достаточно больших n (это легко проверить по правилу Лопиталя для функции при , a>0), то . Ряд расходится, значит расходится и данный ряд.

Теорема

Пусть ряд (9.3.1) – ряд с неотрицательными членами, а ряд (9.3.2) – ряд с положительными членами. Если существует предел

(9.3.3)

то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Теорема (признак Даламбера)

Пусть для ряда (9.3.1) с положительными членами существует предел

.

(9.3.4)

Тогда этот ряд сходится при p<1 и расходится при p>1.

Замечание

При p=1 необходимо дополнительное исследование ряда с других признаков, так как в этом случае ряд (9.3.1) может как сходится, так и расходится.

В качестве применения признака Даламбера исследуем сходимость следующих рядов.

Пример

Исследовать сходимость ряда , a>0.

Решение

Составим соотношение и перейдем к пределу(9.3.4).

. По признаку Даламбера имеем: если a>1. то данный ряд расходится, если же a<1, то данный ряд сходится.

Пример

Исследовать сходимость ряда , a>0.

Решение

Находим предел отношения

т.е. при a<e данный ряд сходится, при a>e он расходится.

Теорема (признак Коши)

Если существует предел

,

(9.3.5)

то ряд (9.3.1) сходится при L<1 и расходится при L>1.

Пример

Исследовать сходимость ряда , где .

Решение

Применяя признак Коши, получаем . Следовательно, при b<c данный ряд сходится, а при b>c он расходится.

Теорема (интегральный признак сходимости)

Пусть функция f(x) непрерывная, положительная и убывающая всюду на промежутке . Тогда числовой ряд

(9.3.6)

сходится вместе с несобственным интегралом

.

(9.3.7)

Пример

Исследовать сходимость ряда , a>1.

Решение

Членами этого ряда являются значения функции в целочисленных точках. Ранее было исследовано, что соответствующий несобственный интеграл первого рода сходится при a>1 и расходится при . Следовательно, данный ряд также сходится при a>1 и расходится при . В частности, отсюда следует расходимость так называемого гармонического ряда:

.