Ряды с положительными членами.

Ряды.

Числовые ряды.

Определение: Числовым рядом называется формально записанная сумма бесконечного числа членов числовой последовательности.

Ряды с положительными членами. - student2.ru

где Ряды с положительными членами. - student2.ru общий член ряда (n-ый член).

Сумму конечного числа первых членов ряда называют частичной суммой ряда:

Ряды с положительными членами. - student2.ru

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм Ряды с положительными членами. - student2.ru ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru называют сходящимся. В этом случае число S называется суммой ряда:

Ряды с положительными членами. - student2.ru

Если Ряды с положительными членами. - student2.ru или не существует, ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru называют расходящимся.

!!! Отбрасывание или приписывание к ряду конечного числа членов не влияет на сходимость или расходимость ряда.

Примеры: 1) Ряды с положительными членами. - student2.ru расходится, т.к. Ряды с положительными членами. - student2.ru при Ряды с положительными членами. - student2.ru неограниченно возрастают.

2) Ряды с положительными членами. - student2.ru расходится, т.к. Ряды с положительными членами. - student2.ru а Ряды с положительными членами. - student2.ru предела у Ряды с положительными членами. - student2.ru нет.

3) Ряды с положительными членами. - student2.ru сходится, т.к. Ряды с положительными членами. - student2.ru при Ряды с положительными членами. - student2.ru

Признак сходимости Даламбера.

Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос:
Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?

!!! Основные предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, Ряды с положительными членами. - student2.ru , Ряды с положительными членами. - student2.ru , Ряды с положительными членами. - student2.ru и так далее. Причем, совершенно не важно, где эти функции располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что они там присутствуют.

2) В общий член ряда входит факториал. Что такое факториал?
Ряды с положительными членами. - student2.ru
Ряды с положительными членами. - student2.ru
Ряды с положительными членами. - student2.ru
Ряды с положительными членами. - student2.ru
Ряды с положительными членами. - student2.ru

Ряды с положительными членами. - student2.ru
Ряды с положительными членами. - student2.ru

! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, Ряды с положительными членами. - student2.ru . Этот случай встречается редко.

! Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.

! Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: Ряды с положительными членами. - student2.ru , то:
а) При Ряды с положительными членами. - student2.ru ряд сходится. В частности, ряд сходится при Ряды с положительными членами. - student2.ru .
б) При Ряды с положительными членами. - student2.ru ряд расходится. В частности, ряд расходится при Ряды с положительными членами. - student2.ru .
в) При Ряды с положительными членами. - student2.ru признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

!!! Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность Ряды с положительными членами. - student2.ru дальше, к сожалению, не продвинуться.

Пример: Исследовать ряд на сходимость Ряды с положительными членами. - student2.ru
Решение: Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть Ряды с положительными членами. - student2.ru , а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера.

Используем признак Даламбера:
Ряды с положительными членами. - student2.ru
Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Радикальный признак Коши.

Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.

Радикальный признак Коши:Рассмотрим положительный числовой ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru . Если существует предел: Ряды с положительными членами. - student2.ru , то:
а) При Ряды с положительными членами. - student2.ru ряд сходится. В частности, ряд сходится при Ряды с положительными членами. - student2.ru .
б) При Ряды с положительными членами. - student2.ru ряд расходится. В частности, ряд расходится при Ряды с положительными членами. - student2.ru .
в) При Ряды с положительными членами. - student2.ru признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.

! Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

!!! Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн». Либо когда корень Ряды с положительными членами. - student2.ru «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.

Пример: Исследовать ряд на сходимость Ряды с положительными членами. - student2.ru

Решение: Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от Ряды с положительными членами. - student2.ru , а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:
Ряды с положительными членами. - student2.ru
Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

Для того чтобы применять интегральный признак Коши необходимо более или менее уверенно уметь находить производные, интегралы, а также иметь навык вычисления несобственного интеграла первого рода.

Сформулирую своими словами (для простоты понимания).

Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

!!! Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда есть некоторая функция и её производная.

Пример: Исследовать ряд на сходимость Ряды с положительными членами. - student2.ru

Решение: Из темы Производная вы наверняка запомнили простейшую табличную вещь: Ряды с положительными членами. - student2.ru , и у нас как раз такой канонический случай.

Как использовать интегральный признак? Сначала берем значок интеграла и переписываем со «счётчика» ряда верхний и нижний пределы: Ряды с положительными членами. - student2.ru . Затем под интегралом переписываем «начинку» ряда с буковкой «икс»: Ряды с положительными членами. - student2.ru .

Теперь нужно вычислить несобственный интеграл Ряды с положительными членами. - student2.ru . При этом возможно два случая:

1) Если выяснится, что интеграл Ряды с положительными членами. - student2.ru сходится, то будет сходиться и наш ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru .

2) Если выяснится, что интеграл Ряды с положительными членами. - student2.ru расходится, то наш ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru тоже будет расходиться.

Используем интегральный признак:

Ряды с положительными членами. - student2.ru

Подынтегральная функция непрерывна на Ряды с положительными членами. - student2.ru

Ряды с положительными членами. - student2.ru

Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Пример: Исследовать сходимость ряда
Ряды с положительными членами. - student2.ru

Решение: прежде всего, проверяем необходимый признак сходимости ряда. Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».

Числовая последовательность Ряды с положительными членами. - student2.ru более высокого порядка роста, чем Ряды с положительными членами. - student2.ru , поэтому Ряды с положительными членами. - student2.ru , то есть необходимый признак сходимости выполнен, и ряд может, как сходиться, так и расходиться.

Таким образом, нужно использовать какой-либо признак. Но какой? Предельный признак сравнения явно не подходит, поскольку в общий член ряда затесался логарифм, признаки Даламбера и Коши тоже не приводят к результату. Если бы у нас был Ряды с положительными членами. - student2.ru , то худо-бедно можно было бы вывернуться через интегральный признак.

«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде Ряды с положительными членами. - student2.ru (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?

Остаётся самый первый признак сравнения, основанный на неравенствах, который часто не принимается во внимание и пылится на дальней полке. Распишем ряд подробнее:
Ряды с положительными членами. - student2.ru

Напоминаю, что Ряды с положительными членами. - student2.ru – неограниченно растущая числовая последовательность:
Ряды с положительными членами. - student2.ru
И, начиная с номера Ряды с положительными членами. - student2.ru , будет выполнено неравенство Ряды с положительными членами. - student2.ru :
Ряды с положительными членами. - student2.ru
то есть, члены ряда Ряды с положительными членами. - student2.ru будут ещё больше соответствующих членов расходящегося ряда Ряды с положительными членами. - student2.ru .

В итоге, ряду Ряды с положительными членами. - student2.ru ничего не остаётся, как тоже расходиться.

!!! Сходимость или расходимость числового ряда зависит от его «бесконечного хвоста» (остатка). В нашем случае мы можем не принимать во внимание тот факт, что неравенство Ряды с положительными членами. - student2.ru неверно для первых двух номеров – это не оказывает влияния на сделанный вывод.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

Сравним данный ряд с расходящимся рядом Ряды с положительными членами. - student2.ru .
Для всех номеров, начиная с Ряды с положительными членами. - student2.ru , выполнено неравенство Ряды с положительными членами. - student2.ru , следовательно, по признаку сравнения исследуемый ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры решений.

Что такое знакочередующийся ряд?Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru и распишем его подробнее:

Ряды с положительными членами. - student2.ru
Знакочередование обеспечивает множитель Ряды с положительными членами. - student2.ru : если Ряды с положительными членами. - student2.ru чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус»

!!! В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель Ряды с положительными членами. - student2.ru , но и его родные братья: Ряды с положительными членами. - student2.ru , Ряды с положительными членами. - student2.ru , Ряды с положительными членами. - student2.ru , …. Например:

Ряды с положительными членами. - student2.ru

!!! Подводным камнем являются «обманки»: Ряды с положительными членами. - student2.ru , Ряды с положительными членами. - student2.ru , Ряды с положительными членами. - student2.ru и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном Ряды с положительными членами. - student2.ru : Ряды с положительными членами. - student2.ru , Ряды с положительными членами. - student2.ru , Ряды с положительными членами. - student2.ru .

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость?Использовать признак Лейбница.

Признак Лейбница: Если в знакочередующемся ряде Ряды с положительными членами. - student2.ru выполняются два условия: 1) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине Ряды с положительными членами. - student2.ru . 2) предел общего члена по модулю равен нулю Ряды с положительными членами. - student2.ru , то ряд сходится, и модуль суммы этого ряда не превосходит модуля первого члена.

Ряды с положительными членами. - student2.ru

Краткая справка о модуле:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду Ряды с положительными членами. - student2.ru . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий.

Теперь немного про монотонность.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: Ряды с положительными членами. - student2.ru . Для ряда Ряды с положительными членами. - student2.ru выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:
Ряды с положительными членами. - student2.ru
А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: Ряды с положительными членами. - student2.ru .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: Ряды с положительными членами. - student2.ru . Рассмотрим ряд с факториалом: Ряды с положительными членами. - student2.ru Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: Ряды с положительными членами. - student2.ru .

!!! В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). При этом члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Пример: Исследовать ряд на сходимость Ряды с положительными членами. - student2.ru

Решение: В общий член ряда входит множитель Ряды с положительными членами. - student2.ru , а значит, нужно использовать признак Лейбница

1) Проверка ряда на монотонное убывание.

1<2<3<…, т.е. n+1>n – первое условие не выполняется

2) Ряды с положительными членами. - student2.ru – второе условие тоже не выполнено.

Вывод: ряд расходится.

Определение: Если ряд сходится по признаку Лейбница и ряд, составленный из модулей: Ряды с положительными членами. - student2.ru тоже сходится, то говорят, что ряд сходится абсолютно.

Если ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из модулей: Ряды с положительными членами. - student2.ru расходится, то говорят, что ряд сходится условно.

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:Если ряд, составленный из модулей сходится, то сходится и данный ряд.

!!! Поэтому знакочередующейся сходящийся ряд необходимо исследовать на абсолютную или условную сходимость.

Пример: Исследовать ряд на условную или абсолютную сходимость Ряды с положительными членами. - student2.ru

Решение: Используем признак Лейбница:

1) Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: Ряды с положительными членами. - student2.ru – первое условие выполнено.

2) Ряды с положительными членами. - student2.ru – второе условие тоже выполнено.

Вывод: ряд сходится.

Проверим на условную или абсолютную сходимость.

Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:
Ряды с положительными членами. - student2.ru – расходится (гармонический ряд).

Таким образом, наш ряд не является абсолютно сходящимся.
Исследуемый ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru сходится условно.

Пример: Исследовать ряд на условную или абсолютную сходимость Ряды с положительными членами. - student2.ru

Решение: Используем признак Лейбница:
1) Попробуем записать несколько первых членов ряда:
Ряды с положительными членами. - student2.ru
Ряды с положительными членами. - student2.ru
Ряды с положительными членами. - student2.ru …?!

2) Ряды с положительными членами. - student2.ru

Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель.

Если числитель Ряды с положительными членами. - student2.ru при Ряды с положительными членами. - student2.ru растёт быстрее факториала, то Ряды с положительными членами. - student2.ru . Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: Ряды с положительными членами. - student2.ru . А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу?

Записали несколько первых членов ряда:
Ряды с положительными членами. - student2.ru
Ряды с положительными членами. - student2.ru
Ряды с положительными членами. - student2.ru

Создается стойкое впечатление, что Ряды с положительными членами. - student2.ru , но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?

Обратимся к теории математического анализа:

!!! Справка

– Факториал растёт быстрее, чем любая показательная последовательность, иными словами: Ряды с положительными членами. - student2.ru или Ряды с положительными членами. - student2.ru . Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. То есть, факториал более высокого порядка роста, чем любая показательная последовательность.

– Факториал растёт быстрее, чем любая степенная последовательность или многочлен, иными словами: Ряды с положительными членами. - student2.ru или Ряды с положительными членами. - student2.ru . Вместо Ряды с положительными членами. - student2.ru можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. Факториал более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность.

Факториал растёт быстрее, чем произведение любого количества показательных и степенных последовательностей (наш случай).

– Любая показательная последовательность растёт быстрее, чем любая степенная последовательность, например: Ряды с положительными членами. - student2.ru , Ряды с положительными членами. - student2.ru . Показательная последовательность более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность. Аналогично факториалу, показательная последовательность «перетягивает» произведение любого количества любых степенных последовательностей или многочленов: Ряды с положительными членами. - student2.ru .

– А есть ли что-нибудь «сильнее» факториала? Есть! Степенно-показательная последовательность («эн» в степени «эн») растёт быстрее факториала. На практике встречается редко, но информация лишней не будет.

Конец справки

Таким образом, второй пункт исследования можно записать так:
2) Ряды с положительными членами. - student2.ru , так как Ряды с положительными членами. - student2.ru более высокого порядка роста, чем Ряды с положительными членами. - student2.ru .
Члены ряда убывают по модулю, начиная с некоторого номера Ряды с положительными членами. - student2.ru , при этом, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, таким образом, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

!!! Вот здесь как раз тот любопытный случай, когда члены ряда сначала растут по модулю, из-за чего у нас сложилось ошибочное первоначальное мнение о пределе. Но, начиная с некоторого номера «эн», факториал обгоняет числитель, и «хвост» ряда становится монотонно убывающим, что является принципиально важным для выполнения условия теоремы Лейбница. Чему конкретно равно данное «эн», выяснить достаточно трудно.

Исследуем ряд на абсолютную или условную сходимость:
Ряды с положительными членами. - student2.ru

А тут уже работает признак Даламбера:

Используем признак Даламбера:
Ряды с положительными членами. - student2.ru

Таким образом, ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Разобранный пример можно решить другим способом (используем достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда).

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:Если ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд.

Второй способ:

Исследовать ряд на условную или абсолютную сходимость Ряды с положительными членами. - student2.ru

Решение: Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Ряды с положительными членами. - student2.ru

Используем признак Даламбера:
Ряды с положительными членами. - student2.ru

Таким образом, ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru сходится.
Исходя из достаточного признака сходимости знакочередующегося ряда, сходится и сам ряд .

Вывод: Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Для вычисления суммы ряда с заданной точностьюбудем использовать следующую теорему:

Пусть знакочередующийся ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru удовлетворяет условиям признака Лейбница и пусть Ряды с положительными членами. - student2.ru – его n-ая частичная сумма. Тогда ряд сходится и погрешность Ряды с положительными членами. - student2.ru при приближенном вычислении его суммы S по абсолютной величине не превосходит модуля первого отброшенного члена:

Ряды с положительными членами. - student2.ru

Функциональные ряды. Степенные ряды.
Область сходимости ряда.

Для успешного освоения темы нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах.

Ряды.

Числовые ряды.

Определение: Числовым рядом называется формально записанная сумма бесконечного числа членов числовой последовательности.

Ряды с положительными членами. - student2.ru

где Ряды с положительными членами. - student2.ru общий член ряда (n-ый член).

Сумму конечного числа первых членов ряда называют частичной суммой ряда:

Ряды с положительными членами. - student2.ru

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм Ряды с положительными членами. - student2.ru ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru называют сходящимся. В этом случае число S называется суммой ряда:

Ряды с положительными членами. - student2.ru

Если Ряды с положительными членами. - student2.ru или не существует, ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru называют расходящимся.

!!! Отбрасывание или приписывание к ряду конечного числа членов не влияет на сходимость или расходимость ряда.

Примеры: 1) Ряды с положительными членами. - student2.ru расходится, т.к. Ряды с положительными членами. - student2.ru при Ряды с положительными членами. - student2.ru неограниченно возрастают.

2) Ряды с положительными членами. - student2.ru расходится, т.к. Ряды с положительными членами. - student2.ru а Ряды с положительными членами. - student2.ru предела у Ряды с положительными членами. - student2.ru нет.

3) Ряды с положительными членами. - student2.ru сходится, т.к. Ряды с положительными членами. - student2.ru при Ряды с положительными членами. - student2.ru

Ряды с положительными членами.

!!! В общем виде положительный числовой ряд можно записать так: Ряды с положительными членами. - student2.ru .

Здесь:
Ряды с положительными членами. - student2.ru – математический значок суммы;
Ряды с положительными членами. - student2.ru – общий член ряда (запомните этот простой термин);
Ряды с положительными членами. - student2.ru – переменная-«счётчик». Запись Ряды с положительными членами. - student2.ru обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас Ряды с положительными членами. - student2.ru , затем Ряды с положительными членами. - student2.ru , потом Ряды с положительными членами. - student2.ru , и так далее – до бесконечности. Вместо переменной Ряды с положительными членами. - student2.ru иногда используется переменная Ряды с положительными членами. - student2.ru или Ряды с положительными членами. - student2.ru . Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля Ряды с положительными членами. - student2.ru , с двойки Ряды с положительными членами. - student2.ru либо с любого натурального числа.

В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто:
Ряды с положительными членами. - student2.ru – и так далее, до бесконечности.

Будем считать, что ВСЕ слагаемые Ряды с положительными членами. - student2.ru – это неотрицательные ЧИСЛА.

Пример: Записать первые три члена ряда
Ряды с положительными членами. - student2.ru

Решение: Сначала Ряды с положительными членами. - student2.ru , тогда: Ряды с положительными членами. - student2.ru
Затем Ряды с положительными членами. - student2.ru , тогда: Ряды с положительными членами. - student2.ru
Потом Ряды с положительными членами. - student2.ru , тогда: Ряды с положительными членами. - student2.ru

Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ: Ряды с положительными членами. - student2.ru

!!! Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности, в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.

Пример: Записать первые три члена ряда
Ряды с положительными членами. - student2.ru

Решение: На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала Ряды с положительными членами. - student2.ru , потом Ряды с положительными членами. - student2.ru и Ряды с положительными членами. - student2.ru . В итоге:
Ряды с положительными членами. - student2.ru

!!! Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать, то есть не выполнять действия: Ряды с положительными членами. - student2.ru , Ряды с положительными членами. - student2.ru , Ряды с положительными членами. - student2.ru . Почему? Ответ в виде Ряды с положительными членами. - student2.ru гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.

Иногда встречается обратное задание

Пример: Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда
Ряды с положительными членами. - student2.ru
Решение: Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть.
В данном случае:
Ряды с положительными членами. - student2.ru
Для проверки полученный ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru можно «расписать обратно» в развернутом виде.

Сходимость рядов с положительными членами.
Необходимый признак сходимости ряда.

!!! Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость. При этом возможны два случая:

1) Ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: Ряды с положительными членами. - student2.ru . Хороший пример расходящегося числового ряда встретился в начале урока: Ряды с положительными членами. - student2.ru . Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда – больше, чем предыдущий, поэтому Ряды с положительными членами. - student2.ru и, значит, ряд расходится. Чуть ниже мы рассмотрим более строгий математический критерий для данного примера.

2) Ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу Ряды с положительными членами. - student2.ru : Ряды с положительными членами. - student2.ru . В качестве примера сходящегося числового ряда можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам со школы: Ряды с положительными членами. - student2.ru . Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти по формуле: Ряды с положительными членами. - student2.ru , где Ряды с положительными членами. - student2.ru – первый член прогрессии, Ряды с положительными членами. - student2.ru – основание прогрессии. В данном случае: Ряды с положительными членами. - student2.ru , Ряды с положительными членами. - student2.ru . Таким образом: Ряды с положительными членами. - student2.ru Получено конечное число, значит, ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru сходится, что и требовалось доказать.

!!! В подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда затруднительно, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.

!!! Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши, некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда Ряды с положительными членами. - student2.ru , образно говоря – от «начинки» ряда.

Необходимый признак сходимости ряда.

Теорема: Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.

!!! Почему признак называется необходимым? Потому-что, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится. Или так: для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю; но этого еще – не достаточно. Если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться! В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие признаки.

Рассмотрим ряд:

Ряды с положительными членами. - student2.ru
Данный ряд называется гармоническим рядом. Пожалуйста, запомните!

Легко заметить, что Ряды с положительными членами. - student2.ru , НО в теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится.

!!! Т.о., из того, что предел общего члена равен нулю не будем делать вывод о сходимости ряда. А с помощью следствия из него будем доказывать расходимость ряда.

Следствие: Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится

(Если Ряды с положительными членами. - student2.ru , то ряд расходится).

!!! В качестве «динамической» переменной вместо «икса» у нас выступает Ряды с положительными членами. - student2.ru . Букву можно заменить другой буквой, и это не страшно, однако есть разница с содержательной точки зрения. Освежим наши знания: пределы с «иксом» называют пределами функций, а пределы с переменной «эн» – пределами числовых последовательностей. Очевидное отличие состоит в том, что переменная «эн» принимает дискретные (прерывные) натуральные значения: 1, 2, 3 и т.д. Но данный факт мало сказывается на методах решения пределов и способах раскрытия неопределенностей.

Докажем, что ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru расходится.
Общий член ряда: Ряды с положительными членами. - student2.ru
Ряды с положительными членами. - student2.ru
Вывод: ряд Ряды с положительными членами. - student2.ru расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Пример: Исследовать ряд на сходимость Ряды с положительными членами. - student2.ru

Решение: В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Тот, кто осмыслил метод раскрытия неопределенности Ряды с положительными членами. - student2.ru , наверняка уловил, что когда старшие степени числителя и знаменателя равны, тогда предел равен конечному числу.

Решаем:

Ряды с положительными членами. - student2.ru
Делим числитель и знаменатель на Ряды с положительными членами. - student2.ru
Ряды с положительными членами. - student2.ru
Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

!!! Какие типы очевидно расходящихся рядов часто встречаются. Сразу понятно, что расходятся ряды вроде Ряды с положительными членами. - student2.ru или Ряды с положительными членами. - student2.ru . Также расходятся ряды: когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя. Во всех этих случаях при решении мы используем необходимый признак сходимости ряда.

Наши рекомендации