Ряды Маклорена и Тейлора

Рассмотрим произвольную функцию f (x), определенную в заданном интервале | x - x₀ | < R, и предположим для нее, что в точке x₀ существуют производные всех порядков до n-го включительно. Будем искать многочлен n-степени с неизвестными пока коэффициентами, который наилучшим образом приближается к функции f (x):

P_n(x) = a₀ + a₁( x - x₀ ) + a₂ ( x - x₀ )² + ¼ + a_n ( x - x₀ )ⁿ » f (x). (20)

Для этого потребуем, чтобы функция f (x) и ее n производных были равны значению многочлена P_n(x) и его производных в точке x₀. Если x₀ = 0, то

P_n(x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + ¼ + a_n xⁿ » f (x). (21)

Как видно из (21)

P_n(0) = a₀ = f (0).

Для нахождения коэффициентов a_i ( i = 1, 2, ¼, n) продифференци-руем (21) почленно:

= a₁ + 2 a₂ x + 3 a₃ x² + 4 a₄ x³ + ¼ + n a_n x^n-1 +¼,

= 2 a₂ + 2×3 a₃ x + 3×4 a₄ x² + ¼ + n×(n-1) a_n x^{n-2 +}¼, (22)

……………………………………………………………

Как видно из (22) при x = 0: f¢(0) = a₁, f¢¢(0) = 2 a₂, f¢¢¢(0) = 2×3 a₃,

f ⁽⁴⁾(0) = 2×3×4 a₄ , ¼, f ⁽ⁿ⁾(0) = 2×3×4×¼×n a_n. Отсюда для коэффициентов многочлена (21) получим:

a₀ = f (0), a₁ = f¢ (0), a₂ = , a₃ = , a₄ = , ¼, a_n = .

Приближение функции f (x) многочленом (21) примет вид (n! = 1×2×3×4×¼×n):

f (x) » f (0) + x + x² + x³ + ¼ + xⁿ. (23)

В тех случаях, когда функция f (x) или ее производные теряют смысл при x = 0, пользуются более общим представлением (20) функции в виде многочлена. Легко показать, что для приближения функции f (x) многочленом (20) справедливо выражение:

f (x) » f (x₀)+ (x-x₀)+ (x-x₀)² + (x-x₀)³ + ¼

¼+ (x-x₀)ⁿ. (24)

Многочлены (23) и (24) дают лишь некоторое приближение для функции f (x). В связи с этим возникает вопрос о степени близости f (x) и соответствующего многочлена. Разность

f (x) - P_n(x) = r_n(x) (25)

называется остаточным членом. Так как n мы можем брать сколь угодно большим, то выражения (23) и (24) приводят к разложению f(x) в бесконечный степенной ряд

f (x) = f (x₀) + (x - x₀) + (x - x₀)² + (x - x₀)³ + ¼

¼ + (x - x₀)ⁿ + ¼ (26)

при | x - x₀ | < R.

Впервые возможность представления функции в виде бесконечного ряда была доказана Тейлором. При x₀ = 0 такой ряд был выведен Маклореном:

f (x) = f (0) + x + x² + x³ + ¼ + xⁿ + ¼. (26¢)

Разность между f (x) и суммой (n+1) членов ряда, согласно (25), есть как раз остаточный член r_n (x). Тогда очевидно, что для того, чтобы при некотором значении x действительно имело место разложение (26), необходимо и достаточно, чтобы

. (27)

Замечание.Для непрерывной вместе со своими производными функции f (x), как правило, условие (27) выполняется и функция f (x) разлагается в степенной ряд. Далее приведены примеры разложения элементарных функций в степенные ряды.

Пример 10. Разложить в ряд функцию f (x) = e^x. Все производные функции e^x равны e^x. Полагая x = 0, получим f (0) = = = = ¼ = 1. Подставляя эти значения в ряд (26¢), будем иметь разложение функции = e^x в ряд Маклорена:

(28)

Применяя к этому ряду признак Даламбера

.

Степенной ряд (28) сходится для любого x; интервал сходимости - (-¥, ¥).

Пример 11. Разложить в ряд функцию f (x) = .

, , , , ¼

При x = 0

, , , , , ¼

Подставляя в (26¢), получим

, (29)

где x измеряется в радианах.

Пример 12. Разложить в ряд функцию f (x) = .

, , , , ¼

При x = 0

, , , , , ¼

Подставляя в (26¢), получим

(30)

Разложение (30), также как и (29), справедливо при любом x.

Пример 13. Разложить в ряд функцию f (x) = . Функция не определена при x = 0, поэтому разложим ее в ряд Тейлора (26) по возрастающим степеням (x-1) (при x₀ = 1).

, , , , ¼

При x = 1

, , , , , ¼

Подставляя в (26), находим

Пример 14. Разложить в ряд функцию мнимого аргумента f (x) = . Обозначим z = ix. Зная разложение в ряд функции e^x, запишем

Разделяя действительную и мнимую часть, получим

. (31)

Согласно (29) и (30), равенство (31) можно записать в виде

. (32)

Заменяя x на -x и учитывая, что = , а = - , находим

. (33)

Формулы (32) и (33) были выведены Эйлером; разрешая (32) и (33) относительно и , получим

, .