Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.

Числовые ряды

Числовыми рядами называются бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения: U₁+U₂+…+U_n+…= Числа U₁U_2… называются членами ряда, член U_n – общим или n-ым членом ряда, сумма n-первых членов ряда.

S_n=U₁+U₂+…+U_n= называются частной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е S=

Число S называется суммой ряда. Если конечного предела, последовательности частичного сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Отбрасывание или приписывание к ряду конечного числа членов не влияет на сходимость или расходимость ряда.

Пример Покажем, что ряд + + = сходится. Возьмем сумму S_n первых n членов ряда. S_n= + +…+ . Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде =1- ; = - ; = - ;…; = - . Поэтому S_n=(1-- )+( - - )+…+( - )=1- Отсюда следует, что предел последовательности членов числительных сумм данного ряда равен единице.

)=1- Ряд сходится, его сумма S=1

Пример 2.

Установим сходятся или расходятся ряды.

1-1+1-1+…+(-1)^n-1+…=

Последовательность его частных сумм имеет вид S₁=1, S₂=0, S₃=1, S₄=0… и значит, не сходится ни к какому пределу, поэтому данный ряд расходится.

Пример 3.

Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии:

a +aq+aq²+ aq³+…+ aq^n-1+…= ,a≠0

Частичная сумма S_n этого ряда при q≠1 имеет вид S_n = a +aq+aq²+ aq³+…+ aq^n-1= = -

Отсюда:

1. еслиúqú<1, то т.е ряды сходятся и его сумма S=

например, при a=1,q= имеет:

S=1+ + +… +…=2

2. еслиúqú>1, то , ряд расходится

3. если q=1 ряд принимает вид a+a+a+…a+…

В этом случае: , ряд расходится

4. при q=-1 ряд принимает вид a-a+a-a+… Для него S_{n = -} – , т.е S_n=0 при n четном и S_n =a при n нечетном. Следовательно, S_n не существует и ряд расходится. Таким образом, ряд является сходящимся приúqú<1 и расходящимся при úqú³1

2. Необходимое условие сходимости числового ряда.

Если ряд сходится, то предел его общего члена при n→∞ равен нулю . При нарушении необходимого условия сходимости ряда, т.е если предел общего члена ряда при n→∞, не существует или если он не равен нулю, ряд расходится. Заметим, что если предел общего члена ряда равен нулю, то вывод о сходимости или расходимости ряда можно сделать только после дополнительного исследования.

Пример:

Гармонический ряд

1 + +…+ +…= этот ряд расходящийся

Пример: обобщенный гармонический ряд

1+ + +…+ +…=

Где α -некоторое число

Этот ряд сходится, если α> 1 и расходится если α≤ 1.

Пример

3+

Является расходящимся, поскольку его общий член a_n= не стремится к нулю.

3. Ряды с неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак.

Признак Даламбера

Пусть для числового ряда c положительными членами предел отношения последующего члена к предыдущему равен λ: тогда,

1. Если λ<1, то ряд сходится

2. Если λ>1, то ряд расходится

3. Если λ=1, то ряд может сходиться, а может и расходится

Примеры:

1. Числовой ряд является сходящимся. Для него = = ²*

0<1

По признаку Даламбера ряд сходится

2. Числовой ряд ( все в степени) расходится. Для него = (n+1 в числителе-это степень, а n,2 в знаменателе – это степень)= )2 (в степени)=4>1 - По признаку Даламбера ряд расходится

3. Для числового ряда имеем = =

Признак Даламбера не позволяет выяснить вопрос о сходимости ряда, однако этот ряд является расходящимся по необходимому признаку.

=1≠0

Признак Лейбница.

Знакочередующий ряд an сходится, если a₁>a₂>…>an>

Пример:

Знакочередующий ряд

1- удволетворяет условиям признака Лейбница, поэтому он сходится. Однако ряд из модуля его членов 1- является гармоническим и расходящимся. Таким образом исходный ряд является сходящимся.

Тема 2. Степенные ряды

6. Степенные ряды. Интервал, радиус сходимости.

Степенным рядом называется ряд вида

C₀+C₁X+C₂X²+C_nXⁿ+…= , где c_n – некоторые числа, Х-переменная. Коэффициентом степенного ряда называется числа С₀,С₁,…_,С_n,…

Пример:

1+х+х²+…+хⁿ+…= степенной ряд, все его коэффициенты равны 1. При каждом конкретном значении переменной степенной ряд становится числовым рядом, к которому применены все понятия и результаты, в частности, понятия абсолютной сходимости. Областью сходимости степенного ряда называется множества всех значений переменной х, при которых соответствующий числовой ряд сходится.

Степенной ряд в предыдущим примере является бесконечной суммой членов геометрической прогрессии со знаменателям Х. его частная сумма S_n=s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Эта сумма имеет конечный предел при <1. Поэтому область сходимости исходного ряда является интервал (-1;1)

7. Свойства степенных рядов.

Теорема Абеля

a) Если степенной ряд сходится при некотором значении х=х₀≠0, то он сходится абсолютно при всех значениях <

b) Если степенной ряд расходится при х=х₁, то он расходится при всех значениях х, таких что >

Из теоремы Абеля следует, что существует такоe число R≥0, что при <R сходится, а при >R ряд расходится. Вопрос о сходимости ряда при х=±R требует дополнительных исследований. Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R≥0, что ряд сходится при <R и расходится при >R. Радиусом сходимости степенного ряда, при С_n≠≠0 находится по формуле

8. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

Формула Маклорина

Формула Маклорина для функции f(x) называется ее формулой Тейлора при x₀=0

F(x)=f(0)+ x+ x²+…+ xⁿ+ xⁿ⁺¹

Где с некоторая точка из интервала (0,x)

9. Применение степенных рядов для приближенных вычислений: интегрирование функций, вычисление пределов.

Числовые ряды

Числовыми рядами называются бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения: U₁+U₂+…+U_n+…= Числа U₁U_2… называются членами ряда, член U_n – общим или n-ым членом ряда, сумма n-первых членов ряда.

S_n=U₁+U₂+…+U_n= называются частной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е S=

Число S называется суммой ряда. Если конечного предела, последовательности частичного сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Отбрасывание или приписывание к ряду конечного числа членов не влияет на сходимость или расходимость ряда.

Пример Покажем, что ряд + + = сходится. Возьмем сумму S_n первых n членов ряда. S_n= + +…+ . Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде =1- ; = - ; = - ;…; = - . Поэтому S_n=(1-- )+( - - )+…+( - )=1- Отсюда следует, что предел последовательности членов числительных сумм данного ряда равен единице.

)=1- Ряд сходится, его сумма S=1

Пример 2.

Установим сходятся или расходятся ряды.

1-1+1-1+…+(-1)^n-1+…=

Последовательность его частных сумм имеет вид S₁=1, S₂=0, S₃=1, S₄=0… и значит, не сходится ни к какому пределу, поэтому данный ряд расходится.

Пример 3.

Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии:

a +aq+aq²+ aq³+…+ aq^n-1+…= ,a≠0

Частичная сумма S_n этого ряда при q≠1 имеет вид S_n = a +aq+aq²+ aq³+…+ aq^n-1= = -

Отсюда:

1. еслиúqú<1, то т.е ряды сходятся и его сумма S=

например, при a=1,q= имеет:

S=1+ + +… +…=2

2. еслиúqú>1, то , ряд расходится

3. если q=1 ряд принимает вид a+a+a+…a+…

В этом случае: , ряд расходится

4. при q=-1 ряд принимает вид a-a+a-a+… Для него S_{n = -} – , т.е S_n=0 при n четном и S_n =a при n нечетном. Следовательно, S_n не существует и ряд расходится. Таким образом, ряд является сходящимся приúqú<1 и расходящимся при úqú³1

2. Необходимое условие сходимости числового ряда.

Если ряд сходится, то предел его общего члена при n→∞ равен нулю . При нарушении необходимого условия сходимости ряда, т.е если предел общего члена ряда при n→∞, не существует или если он не равен нулю, ряд расходится. Заметим, что если предел общего члена ряда равен нулю, то вывод о сходимости или расходимости ряда можно сделать только после дополнительного исследования.

Пример:

Гармонический ряд

1 + +…+ +…= этот ряд расходящийся

Пример: обобщенный гармонический ряд

1+ + +…+ +…=

Где α -некоторое число

Этот ряд сходится, если α> 1 и расходится если α≤ 1.

Пример

3+

Является расходящимся, поскольку его общий член a_n= не стремится к нулю.

3. Ряды с неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак.

Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.

Пусть имеется два числовых ряда с положительными членами.

a₁+a₂+…+a_n+…(1)

b₁+b₂+…+b_n…(2)

где a_n>0,b_n>,для всех n∈N. Для таких рядов справедливы следующие признаки сходимости.

Признаки сравнения.

Пусть общие члены рядов (1) и (2) (с положительными членами) связаны неравенством a_n≤b_n, для всех n∈N.

Тогда:

1. Если ряд (2) сходится, то и ряд (1) сходится

2. Если ряд (1) расходится, то и ряд (2) расходится

При применении признака сравнения обычно в качестве эталонных рядов рассматриваются следующие ряды.

1. Сумма членов геометрической прогрессии

2. Гармонический ряд

3. Обобщенные гармонический ряд

Пример:

1) =2+ + + +

Является расходящимся, так как его общий член b_n= больше общего члена a_n= расходящегося гармоничного ряда.

2)Члены числового ряда положительны. Сравним их с членами обобщенного гармонического ряда. сходится, то по признаку сравнения сходится и сходный ряд.

Признак Даламбера

Пусть для числового ряда c положительными членами предел отношения последующего члена к предыдущему равен λ: тогда,

1. Если λ<1, то ряд сходится

2. Если λ>1, то ряд расходится

3. Если λ=1, то ряд может сходиться, а может и расходится

Примеры:

1. Числовой ряд является сходящимся. Для него = = ²*

0<1

По признаку Даламбера ряд сходится

2. Числовой ряд ( все в степени) расходится. Для него = (n+1 в числителе-это степень, а n,2 в знаменателе – это степень)= )2 (в степени)=4>1 - По признаку Даламбера ряд расходится

3. Для числового ряда имеем = =

Признак Даламбера не позволяет выяснить вопрос о сходимости ряда, однако этот ряд является расходящимся по необходимому признаку.

=1≠0