Ряды с положительными членами

Понятие ряда.

Выражение

Ряды с положительными членами - student2.ru , (1)

где числа Ряды с положительными членами - student2.ru (члены ряда), вообще комплексные, зависят от индексов Ряды с положительными членами - student2.ru , называется рядом. Этому выражению мы не приписали никакого числа, потому что сложение бесконечного числа слагаемых не имеет смысла. Ряд (1) еще записывают так:

Ряды с положительными членами - student2.ru . (2)

Это чисто формальная запись часто более удобна, чем запись (1).

Числа

Ряды с положительными членами - student2.ru

называются Ряды с положительными членами - student2.ru -ми частичными суммами ряда (1).

По определению ряд (1) сходится, если существует

Ряды с положительными членами - student2.ru .

В этом случае пишут

Ряды с положительными членами - student2.ru (3)

и называют Ряды с положительными членами - student2.ru суммой ряда, т. е. выражениям (1) или (2) приписывается число Ряды с положительными членами - student2.ru . Говорят еще, что ряд (3) сходится к Ряды с положительными членами - student2.ru .

З а м е ч а н и е. Равенство Ряды с положительными членами - student2.ru , где Ряды с положительными членами - student2.ru и Ряды с положительными членами - student2.ru - комплексные, определяется так же, как для действительных Ряды с положительными членами - student2.ru , т. е. оно обозначает, что Ряды с положительными членами - student2.ru Ряды с положительными членами - student2.ru Ряды с положительными членами - student2.ru . Здесь Ряды с положительными членами - student2.ru - модуль разности двух комплексных чисел Ряды с положительными членами - student2.ru . Для комплексных переменных доказывается в точности так же, как для действительных переменных, что предел суммы, разности, произведения и частного переменных Ряды с положительными членами - student2.ru равен соответственно сумме, разности, произведению частному пределов этих переменных с обычной оговоркой в случае частного Ряды с положительными членами - student2.ru .

В силу условия Коши (верного и для последовательностей комплексных чисел), для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого Ряды с положительными членами - student2.ru нашлось такое Ряды с положительными членами - student2.ru , чтобы для всех натуральных Ряды с положительными членами - student2.ru и любого натурального Ряды с положительными членами - student2.ru выполнялось неравенство

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Отсюда в частности (полагая Ряды с положительными членами - student2.ru ), следует, что если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю:

Ряды с положительными членами - student2.ru . (4)

Но условие (4), будучи необходимым, не является достаточным для сходимости ряда, как это будет видно из дальнейших примеров.

Рассмотрим еще ряд

Ряды с положительными членами - student2.ru (5)

Так как условие Коши сходимости рядов (1) и (5) формулируется совершенно одинаково, то они одновременно либо сходятся, либо расходятся (не сходятся). Если они сходятся, то сумма ряда (5) равна

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Ряд (5) называют остатком или остаточным членом ряда (1).

Если члены ряда (1) неотрицательны (таким образом, действительны), то его частичные суммы образуют неубывающую последовательность Ряды с положительными членами - student2.ru , поэтому, если эта последовательность ограничена

Ряды с положительными членами - student2.ru ,

то ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Если же она неограниченна, то ряд расходится:

Ряды с положительными членами - student2.ru .

В этом случае пишут

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Пример. Ряд

Ряды с положительными членами - student2.ru (6)

имеет (при Ряды с положительными членами - student2.ru ) частичную сумму Ряды с положительными членами - student2.ru . Если Ряды с положительными членами - student2.ru , то Ряды с положительными членами - student2.ru и Ряды с положительными членами - student2.ru . Таким образом, ряд (6) сходится и имеет сумму, равную Ряды с положительными членами - student2.ru - на открытом круге Ряды с положительными членами - student2.ru . Если же Ряды с положительными членами - student2.ru , то ряд (6) расходится, потому что в этом случае его общий член, имеющий модуль, не меньший единицы Ряды с положительными членами - student2.ru , не стремится к нулю при Ряды с положительными членами - student2.ru .

Решение.

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле: Ряды с положительными членами - student2.ru .

Т.к. Ряды с положительными членами - student2.ru и Ряды с положительными членами - student2.ru , то

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Итак, радиус сходимости ряда Ряды с положительными членами - student2.ru . Т.о. данный степенной ряд расходится, при Ряды с положительными членами - student2.ru .

Исследуем сходимость ряда при Ряды с положительными членами - student2.ru .

Пусть Ряды с положительными членами - student2.ru . Подставим Ряды с положительными членами - student2.ru в заданный степенной ряд и получим ряд

Ряды с положительными членами - student2.ru , который сходится.

Итак, областью сходимости данного степенного ряда является значение Ряды с положительными членами - student2.ru .

Пример2:

Найти область сходимости степенного ряда Ряды с положительными членами - student2.ru .

Решение.

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле: Ряды с положительными членами - student2.ru .

Т.к. Ряды с положительными членами - student2.ru и Ряды с положительными членами - student2.ru , то

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Итак, радиус сходимости ряда Ряды с положительными членами - student2.ru . Определим интервал сходимости данного степенного ряда:

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Ряды с положительными членами - student2.ru – интервал сходимости степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Пусть Ряды с положительными членами - student2.ru . Подставим Ряды с положительными членами - student2.ru в заданный степенной ряд и получим числовой ряд с положительными членами:

Ряды с положительными членами - student2.ru

Получили расходящийся обобщенный гармонический ряд Ряды с положительными членами - student2.ru .

Значит, Ряды с положительными членами - student2.ru не принадлежит области сходимости степенного ряда.

Пусть Ряды с положительными членами - student2.ru . Подставим Ряды с положительными членами - student2.ru в заданный степенной ряд и получим знакочередующийся ряд

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Для членов полученного ряда:

1) Ряды с положительными членами - student2.ru

2) Ряды с положительными членами - student2.ru , т.е. Ряды с положительными членами - student2.ru

В соответствии с признаком Лейбница данный ряд сходится и Ряды с положительными членами - student2.ru принадлежит области сходимости степенного ряда.

Итак, областью сходимости данного степенного ряда является промежуток Ряды с положительными членами - student2.ru .

Ряды Фурье.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...,

где ao, a1,a2,...,b1,b2,.. - действительные константы, т.е.

(1)

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Ряды с положительными членами - student2.ru

Коэффициенты ao,an и bn называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=ao+c1sin(x+α1)+c2sin(2x+α2)+...+cnsin(nx+αn)

Где ao - константа, с 1=(a12+b12)1/2 , с n=(an2+bn2)1/2- амплитуды различных компонент, а фазовый угол равен an=arctgan/bn.

Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) или c1sin(x+α1) называется первой или основной гармоникой,(a2cos2x+b2sin2x) или c2sin(2x+α2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная, если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная,если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусамфункции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ.на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье ao и an

Ряды с положительными членами - student2.ru

Ряды с положительными членами - student2.ru

Ряды с положительными членами - student2.ru

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряды с положительными членами - student2.ru

Ряды с положительными членами - student2.ru

Пример 3.

Найти все решения дифференциального уравнения Ряды с положительными членами - student2.ru .

Интегрируя, получим Ряды с положительными членами - student2.ru .

Общим решением дифференциального уравнения называют решение, которое существенно зависит от произвольной постоянной с. Общее решение, полученное в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

y = - cos x +c – общее решение.

y + cos x = с – общий интеграл.

Решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения при фиксированном значении постоянной c , называют частным решением.

Пусть М(0,2), с= 2+ сos(0); с = 3. y = -cos x + 3 – частное решение, то есть мы выделяем кривую, которая проходит через точку (0,2).

Кривые y = - cos x +c называются интегральными кривыми дифференциального уравнения Ряды с положительными членами - student2.ru .

Уравнение вида F(x,y, Ряды с положительными членами - student2.ru )=0 (1) называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядказаключается в отыскании решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию Ряды с положительными членами - student2.ru . Геометрически это означает определение интегральной кривой, проходящей через точку Ряды с положительными членами - student2.ru .

Теорема Пикара. Если в уравнении Ряды с положительными членами - student2.ru функция Ряды с положительными членами - student2.ru определена и непрерывна в окрестности точки Ряды с положительными членами - student2.ru и, кроме того, имеет частную производную Ряды с положительными членами - student2.ru , то задача Коши имеет единственное решение, являющееся дифференцируемой функцией. Если в точке Ряды с положительными членами - student2.ru условия теоремы Пикара нарушаются, то задача Коши может иметь несколько решений или не иметь их вовсе. В первом случае через точку Ряды с положительными членами - student2.ru проходит несколько интегральных кривых. Точки, в которых происходит нарушение условий теоремы Пикара, называют особыми. Дополнительные решения задачи Коши, возникающие при этом, также называют особыми.

Кратные интегралы.

Двойные интегралы

Определение двойного интеграла и критерий интегрируемости

Определение двойного интеграла:

Мы будем рассматривать функции Ряды с положительными членами - student2.ru , определённые на квадрируемом (то есть имеющем площадь) множестве Ряды с положительными членами - student2.ru . Практически всегда представляет собой фигуру, ограниченную кусочно-гладкой кривой, или конечное объединение таких фигур. Далее, говоря о квадрируемом множестве, мы ограничиваемся рассмотрением именно таких множеств.

Если вспомнить теорию определённого интеграла, то мы начали её изложение с понятия разбиения Ряды с положительными членами - student2.ru отрезка Ряды с положительными членами - student2.ru . По аналогии, определим разбиение квадрируемого множества , как представление множества в виде объединения конечного числа квадрируемых частей, Ряды с положительными членами - student2.ru .

Ряды с положительными членами - student2.ru

Можно считать, что разбиение на части Ряды с положительными членами - student2.ru также осуществляется с помощью спрямляемых(т.е. имеющих длину) кривых, то есть все также являются фигурами с кусочно-гладкими границами, либо конечными объединениями таких фигур.

В одномерном случае мы рассматривали длины частей разбиения Ряды с положительными членами - student2.ru . В двумерном случае обобщением понятия длины Ряды с положительными членами - student2.ru будет площадь . Однако нам потребуется также понятие диаметра множества Ряды с положительными членами - student2.ru . Эта величина определяется, как точная верхняя грань расстояний между точками множества . В частности, если – круг, то Ряды с положительными членами - student2.ru – это как раз длина диаметра круга в обычном смысле. В общем понятие диаметра множества поясняет рисунок:

Ряды с положительными членами - student2.ru

Ясно, что если Ряды с положительными членами - student2.ru невелик, то и площадь также невелика, поскольку неравенство Ряды с положительными членами - student2.ru означает, что содержится некотором в круге радиуса Ряды с положительными членами - student2.ru и имеет площадь не больше, чем Ряды с положительными членами - student2.ru .

Ряды с положительными членами - student2.ru

Действительно, возьмём произвольную точку множества в качестве центра этого круга. Так как , остальные точки лежат внутри круга.

Однако площадь множества может быть невелика, а достаточно велик. Пример – очень тонкий прямоугольник.

Ряды с положительными членами - student2.ru

Определим диаметр Ряды с положительными членами - student2.ru разбиения T как наибольший из диаметров частей этого разбиения. Далее, как и в одномерном случае, выберем точки Ряды с положительными членами - student2.ru (было: Ряды с положительными членами - student2.ru ).Пусть Ряды с положительными членами - student2.ru имеет координаты Ряды с положительными членами - student2.ru . Важную роль в дальнейшем будет играть понятие интегральной суммы, определяемой равенством Ряды с положительными членами - student2.ru . Так же, как и в одномерном случае, эта величина имеет простой геометрический смысл. Вспомним, что сумма Ряды с положительными членами - student2.ru представляла собой площадь ступенчатой фигуры вида:

Ряды с положительными членами - student2.ru

(для простоты считаем, что Ряды с положительными членами - student2.ru ).

Напомним, что объём цилиндра с основанием, имеющим площадь Ряды с положительными членами - student2.ru и с высотой Ряды с положительными членами - student2.ru равен Ряды с положительными членами - student2.ru . Поэтому интегральная сумма Ряды с положительными членами - student2.ru равна объёму тела, состоящего из цилиндров с высотой Ряды с положительными членами - student2.ru (для простоты считаем, что Ряды с положительными членами - student2.ru ) и основаниями Ряды с положительными членами - student2.ru .

Перейдём к основному определению.

Определение.Пусть Ряды с положительными членами - student2.ru - ограниченная на квадрируемом множестве функция. Пусть Ряды с положительными членами - student2.ru . Если

Ряды с положительными членами - student2.ru Ряды с положительными членами - student2.ru Ряды с положительными членами - student2.ru Ряды с положительными членами - student2.ru , Ряды с положительными членами - student2.ru , Ряды с положительными членами - student2.ru , (1)

то будем говорить, что f – интегрируемая на функция и что число Ряды с положительными членами - student2.ru является её интеграломна этом множестве. Используется обозначение Ряды с положительными членами - student2.ru .

Иногда используют обозначение Ряды с положительными членами - student2.ru .

Замечание.Это определение несколько отличается от определения обычного определённого интеграла, в котором отсутствовало требование ограниченности функции Ряды с положительными членами - student2.ru . Дело в том, что для обычного определённого интеграла из выполнения условия (1) следовало необходимое условие интегрируемости: если Ряды с положительными членами - student2.ru интегрируема на , то ограничена на .

Для двойного интеграла из выполнения условия (1) не следует, что функция ограничена. Это условие, например, заведомо выполняется для любой определённой на множестве функции, если множество имеет равную нулю площадь. Для того, чтобы у двойного интеграла сохранились все важные свойства определённого интеграла и добавлено требование ограниченности функции.

Критерий интегрируемости

Критерий существования определённого интеграла Ряды с положительными членами - student2.ru формулировался в терминах сумм Дарбу, т.е. сумм вида Ряды с положительными членами - student2.ru , Ряды с положительными членами - student2.ru , где Ряды с положительными членами - student2.ru , Ряды с положительными членами - student2.ru , то есть Ряды с положительными членами - student2.ru - нижняя грань, а Ряды с положительными членами - student2.ru - верхняя грань значений при Ряды с положительными членами - student2.ru .

Рассуждая аналогично, рассмотрим для ограниченной на квадрируемом множестве функции Ряды с положительными членами - student2.ru числа Ряды с положительными членами - student2.ru , Ряды с положительными членами - student2.ru (эти числа существуют ввиду предполагаемой ограниченности функции на и, значит, на всех. Определим суммы Дарбу равенствами Ряды с положительными членами - student2.ru , Ряды с положительными членами - student2.ru . Эти величины представляют собой объемы тел, состоящих из цилиндров с основаниями и высотами, соответственно, Ряды с положительными членами - student2.ru и Ряды с положительными членами - student2.ru . Ясно, что для любого разбиения при любом выборе точек Ряды с положительными членами - student2.ru выполнены неравенства между суммами Дарбу и интегральной суммой, соответствующей этому выбору точек: Ряды с положительными членами - student2.ru .

На рисунке изображены тела, объёмы которых равны суммам Дарбу.

Нижняя сумма Дарбу Верхняя сумма Дарбу

Вполне аналогично одномерному случаю можно доказать критерий существования двойного интеграла.

Теорема 1.1.Ограниченная на квадрируемом множестве функция интегрируема тогда и только тогда, когда Ряды с положительными членами - student2.ru

(На экзамене ограничиваемся формулировкой).

Из этого критерия следует теорема.

Теорема1.2.Если функция непрерывна на квадрируемом множестве , то интегрируема на этом множестве.

(На экзамене достаточно формулировки).

Свойства двойных интегралов

Свойство 1. Если Ряды с положительными членами - student2.ru - интегрируемые на квадрируемом множестве функции, а Ряды с положительными членами - student2.ru числа, то

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Иными словами, интеграл - линейный функционал.

Свойство 2. Если Ряды с положительными членами - student2.ru - интегрируема на объединении квадрируемых множеств Ряды с положительными членами - student2.ru , то

Ряды с положительными членами - student2.ru ,

причем если площадь пересечения Ряды с положительными членами - student2.ru равна 0, то Ряды с положительными членами - student2.ru . (Аддитивность интеграла по множеству).

Свойство 3.Если- интегрируемая на квадрируемом множествефункция и Ряды с положительными членами - student2.ru , то Ряды с положительными членами - student2.ru .

Свойство 4.Если - интегрируемые на квадрируемом множестве функции и Ряды с положительными членами - student2.ru , то Ряды с положительными членами - student2.ru .

Свойство5.Если- интегрируемая на квадрируемом множествефункция , причем Ряды с положительными членами - student2.ru .

Свойство 6.Если- интегрируемая на квадрируемом множествефункция , то функция Ряды с положительными членами - student2.ru – также интегрируемая, причем Ряды с положительными членами - student2.ru где т, М ограничивающие множество значений функции числа, товыполняются неравенства Ряды с положительными членами - student2.ru ,

т.е.существует число Ряды с положительными членами - student2.ru , удовлетворяющее неравенствам Ряды с положительными членами - student2.ru для которого

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Если, кроме того, множество – связное* и- непрерывна на нём,то существует точка Ряды с положительными членами - student2.ru , для которой

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Доказывать эти свойства мы не будем, поскольку их доказательства вполне аналогичны доказательствам свойств обычного интеграла.

В конце п.1.2. отмечено, что если -непрерывная на множестве функция, то - интегрируема на . Свойство 2 позволяет утверждать, что если имеет разрывы налишь вдоль конечного числа спрямляемых линий, разбивающихна квадрируемые области, то - интегрируема на , т.к., по свойству 2, интеграл по есть просто сумма конечного числа интегралов по полученным частям (на которых непрерывна и, значит, интегрируема).

*Примечание.Связным множеством на плоскости назовем такое множество, любые две точки которого можно соединить кусочно-гладкой кривой, лежащей в этом множестве.

Ряды с положительными членами - student2.ru 3. Вычисление двойного интеграла сведением к повторному интегралу

Двойной интеграл – новый объект и мы укажем способ его вычисления сведением к повторному вычислению определённого интеграла. Сначала рассмотрим двойной интеграл по прямоугольной области Ряды с положительными членами - student2.ru стороны которой параллельны осям координат.

Теорема 1.3.Пусть для функции Ряды с положительными членами - student2.ru существует двойной интеграл Ряды с положительными членами - student2.ru по области Ряды с положительными членами - student2.ru . Кроме того, пусть для любого Ряды с положительными членами - student2.ru существует Ряды с положительными членами - student2.ru .

Тогда существует и интеграл, называемый повторным:

Ряды с положительными членами - student2.ru

и выполняется равенство

Ряды с положительными членами - student2.ru (2)

►Разобьём прямоугольник на прямоугольники, обозначенные Ряды с положительными членами - student2.ru , прямыми, проходящими параллельно оси Ряды с положительными членами - student2.ru через точки Ряды с положительными членами - student2.ru и прямыми, параллельными оси Ряды с положительными членами - student2.ru и проходящими через точки Ряды с положительными членами - student2.ru Таким образом, Ряды с положительными членами - student2.ru

Пусть Ряды с положительными членами - student2.ru , числа Ряды с положительными членами - student2.ru и Ряды с положительными членами - student2.ru , соответственно, равны нижней и верхней граням функции Ряды с положительными членами - student2.ru на Ряды с положительными членами - student2.ru откуда Ряды с положительными членами - student2.ru Проинтегрируем эти неравенства по на отрезках Ряды с положительными членами - student2.ru :

Ряды с положительными членами - student2.ru

Суммируя эти неравенства по Ряды с положительными членами - student2.ru от Ряды с положительными членами - student2.ru до Ряды с положительными членами - student2.ru , получаем

Ряды с положительными членами - student2.ru

Умножим все части этих неравенств на Ряды с положительными членами - student2.ru и суммируем полученные неравенства по Ряды с положительными членами - student2.ru от Ряды с положительными членами - student2.ru до Ряды с положительными членами - student2.ru :

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Поскольку Ряды с положительными членами - student2.ru , эти неравенства можно переписать в виде

Ряды с положительными членами - student2.ru

или

Ряды с положительными членами - student2.ru ,

где – разбиение на прямоугольники Ряды с положительными членами - student2.ru При Ряды с положительными членами - student2.ru стремится к нулю и величина Ряды с положительными членами - student2.ru . Кроме того, при также Ряды с положительными членами - student2.ru . Значит, интеграл Ряды с положительными членами - student2.ru существует и равен , что и утверждалось.◄

Замечания.

  1. В случае, когда непрерывна навсе условия теоремы выполняются и равенство (2) справедливо.
  2. Отметим, что интеграл Ряды с положительными членами - student2.ru представляет собой собственный интеграл, зависящий от параметра.

Рассмотрим случай криволинейной трапеции. Справедлива такая теорема:

Теорема 1.4 (Фубини).Пусть область задана неравенствами Ряды с положительными членами - student2.ru Ряды с положительными членами - student2.ru , где Ряды с положительными членами - student2.ru . Пусть существует Ряды с положительными членами - student2.ru и для любого существует Ряды с положительными членами - student2.ru . Тогда существует интеграл Ряды с положительными членами - student2.ru и он равен .

►Так как Ряды с положительными членами - student2.ru непрерывна на Ряды с положительными членами - student2.ru , существует её минимальное значение Ряды с положительными членами - student2.ru на этом отрезке. Аналогично, существует максимальное значение Ряды с положительными членами - student2.ru функции Ряды с положительными членами - student2.ru на отрезке Ряды с положительными членами - student2.ru в прямоугольник Ряды с положительными членами - student2.ru , состоящий из точек Ряды с положительными членами - student2.ru , Ряды с положительными членами - student2.ru , Ряды с положительными членами - student2.ru . На этом прямоугольнике рассмотрим функцию

Ряды с положительными членами - student2.ru

Условия предыдущей теоремы для функции Ряды с положительными членами - student2.ru выполнены. Она интегрируема в , равна 0 (и, значит, интегрируема) в Ряды с положительными членами - student2.ru . Следовательно, она интегрируема на всём множестве . При этом

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Наконец, для любого Ряды с положительными членами - student2.ru выполнено равенство

Ряды с положительными членами - student2.ru .

По доказанному в предыдущей теореме,

Ряды с положительными членами - student2.ru ,

Ряды с положительными членами - student2.ru

откуда сразу получаем:

Ряды с положительными членами - student2.ru ,

что и требовалось доказать.◄

Следствие: Пусть Ряды с положительными членами - student2.ru ) непрерывна в области , ограниченной сверху графиком функции Ряды с положительными членами - student2.ru , снизу - , где , a по бокам - отрезками вертикальных прямых х = а и х = b. Тогда

Ряды с положительными членами - student2.ru .

►Из непрерывности Ряды с положительными членами - student2.ru сразу следует её интегрируемость на . Кроме того, для любого Ряды с положительными членами - student2.ru функция непрерывна (а, значит, интегрируема по у). Все условия теоремы выполнены. ◄

Замечание. Если область можно ограничить так:
Ряды с положительными членами - student2.ru Ряды с положительными членами - student2.ru , Ряды с положительными членами - student2.ru , то

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Смысл этих теорем ясен – указан способ сведения двойного интеграла к собственным интегралам, зависящим от параметра.

Тройные интегралы

Рассмотрим кубируемое множество Ряды с положительными членами - student2.ru . Считаем, что оно ограничено конечным числом кусочно-гладких поверхностей . Разбиение на части Ряды с положительными членами - student2.ru также осуществляется кусочно- гладкими поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции Ряды с положительными членами - student2.ru , разбиения множества Ряды с положительными членами - student2.ru на части и для выбранных точек Ряды с положительными членами - student2.ru интегральную сумму

Ряды с положительными членами - student2.ru ,

где Ряды с положительными членами - student2.ru обозначает объем части .

Определение. Пусть такое число, что Ряды с положительными членами - student2.ru Ряды с положительными членами - student2.ru Ряды с положительными членами - student2.ru .

Тогда мы говорим, что функция интегрируема на множестве , число есть интеграл функции по множеству и обозначаем это так: Ряды с положительными членами - student2.ru .

Как и в случае двойного интеграла, выполняются свойства 1-6. Полезное упражнение - переформулировать их для тройного интеграла .

Теорема 2.1. Ограниченная на кубируемом множестве функция Ряды с положительными членами - student2.ru интегрируема тогда и только тогда, когда Ряды с положительными членами - student2.ru

(На экзамене ограничиваемся формулировкой).

Из этого критерия следует теорема.

Теорема 2.2. Если функция непрерывна на кубируемом множестве , то интегрируема на этом множестве.

(На экзамене достаточно формулировки).

Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе кусочно-гладких поверхностей, лежащих на и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на .

Вычисление тройного интеграла производится по следующему правилу.

Теорема 2.3.Пусть задана следующими неравенствами:

Ряды с положительными членами - student2.ru ,

где — квадрируемая область на плоскости, Ряды с положительными членами - student2.ru непрерывные функции. Тогда

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Замечание. Если область задана неравенствами Ряды с положительными членами - student2.ru , где Ряды с положительными членами - student2.ru — непрерывные функции, то

Ряды с положительными членами - student2.ru

Сформулируем общую теорему о замене переменных.

Теорема 2.4. Пусть отображение Ряды с положительными членами - student2.ru устанавливает взаимно однозначное соответствие между областями Ряды с положительными членами - student2.ru и Ряды с положительными членами - student2.ru , причем функции Ряды с положительными членами - student2.ru — непрерывно дифференцируемые и ни в одной точке Ряды с положительными членами - student2.ru .Пусть всюду в области

Ряды с положительными членами - student2.ru

Пусть — непрерывная функция. Тогда

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Как и для двойного интеграла, теорема остается верной в случае нарушения ее условий на множестве нулевого объема.

Пример 1. Переход к цилиндрическим координатам. Он осуществляется с помощью функций: Ряды с положительными членами - student2.ru .

При этом якобиан равен

Ряды с положительными членами - student2.ru .

Пример 2. Переход к сферическим координатам осуществляется функциями Ряды с положительными членами - student2.ru .

Якобиан преобразования равен

Ряды с положительными членами - student2.ru

(разложение определителя по 3-й строке) Ряды с положительными членами - student2.ru

(выделение общих множителей у столбцов)

Ряды с положительными членами - student2.ru Ряды с положительными членами - student2.ru .

Часто используется интеграл (вы встретите его при вычислении двойных, тройных интегралов при переходе к сферическим или цилиндрическим координатам)

Ряды с положительными членами - student2.ru

Сведем его к значен

Наши рекомендации