Производные высших порядков. Литература: [5], Ч.1, гл
Литература: [5], Ч.1, гл. 5, § 5.4
Производной второго порядка (второй производной) функции y = f (x) называется производная от ее производной.
Вторая производная обозначается или .
Если ─ закон прямолинейного движения точки, то вторая производная пути по времени есть ускорение этого движения. В этом заключается механический смысл второй производной.
Аналогично, производной третьего порядка функции y = f (x) называется производная от производной второго порядка: . Вообще, производная n-го порядка от функции y = f (x) называется производная от производной(n-1)-го порядка: .
Производные высших порядков (вторая, третья и т.д.) вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.
Пример 1.. Найти , если .
Решение. Применяя последовательно правила дифференцирования суммы и произведения, а также правило дифференцирования сложной функции, найдем первую производную заданной функции:
.
Дифференцируя первую производную, найдем вторую производную заданной функции: .
Если функция задана параметрически , то производные , , … вычисляются по формулам:
, , и т.д.
Производную второго порядка функции, заданной параметрически, можно также вычислить по формуле: .
Пример 2. Найти и , если функция задана параметрически
Решение. Имеем
,
.
Покажем на примере способ нахождения производных высших порядков от функций, заданных неявно.
Пример 3. Найти вторую производную функции , заданной неявно уравнением .
Решение. Дифференцируя уравнение по x, получим:
.
Продифференцировав равенство по x и разрешив его относительно , получим:
.
Подставив уже найденное значение в выражение для второй производной, выразим через x и y:
.
Дифференциал функции
Литература: [5], Ч.1, гл. 5, §§ 5.3, 5.4
Пусть функция y = f (x) дифференцируема на отрезке [a‚ b]. Производная этой функции в некоторой точке x отрезка [a‚ b] определяется равенством .
На основании свойства функции, имеющей конечный предел, имеем , где ─ бесконечно малая более высокого порядка, чем , т.е. .
Тогда
или .
Таким образом, приращение функции представлено в виде суммы двух слагаемых, одно из которых линейное относительно и является главной частью приращения функции, если , а второе ─ бесконечно малая более высокого порядка малости по сравнению с .
Дифференциалом(первого порядка) функции y = f (x) называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента .
Дифференциал аргумента равен приращению аргумента
Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента: .
Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке (рис. 1.4).
| y |
| ∆y |
| x |
| x |
| M |
| N |
| α |
| dy |
| ∆x |
| О |
| x+∆x |
| f (x) |
| f (x+∆x) |
| y = f (x) |
Рис. 1.4
Основные свойства дифференциала:
1) , где ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Последнее свойство называется свойством инвариантности формы первого дифференциала, здесь u ─ не независимая переменная, а дифференцируемая функция.
Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.
Дифференциалом второго порядка функции y = f (x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка: Аналогично определяется дифференциал третьего порядка: Вообще,
Если y = f (x) и x − независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам
, , … , .
Пример. Найти дифференциал функции .
Решение. .