Производные высших порядков

Производная Производные высших порядков - student2.ru функции Производные высших порядков - student2.ru есть также функция от x и называется производной первого порядка.

Если функция Производные высших порядков - student2.ru дифференцируема, то ее производная называется производ-ной второго порядкаи обозначается: Производные высших порядков - student2.ru или Производные высших порядков - student2.ru . Итак,

Производные высших порядков - student2.ru .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается: Производные высших порядков - student2.ru или Производные высших порядков - student2.ru . Итак,

Производные высших порядков - student2.ru .

Производная n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной Производные высших порядков - student2.ru порядка:

Производные высших порядков - student2.ru . (16.7.)

Производная порядка выше первого называются производными высших порядков. Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначаются римскими цифрами или числами в скобках, например, Производные высших порядков - student2.ru или Производные высших порядков - student2.ru – производная пятого порядка.

Пример 16.10. Найти значение производной 4-го порядка для функции Производные высших порядков - student2.ru при Производные высших порядков - student2.ru .

Решение. Находим последовательно

Производные высших порядков - student2.ru ;

Производные высших порядков - student2.ru ;

Производные высших порядков - student2.ru ;

Производные высших порядков - student2.ru .

Следовательно, Производные высших порядков - student2.ru . ,

Пример 16.11. Найти производную n-го порядка для функции Производные высших порядков - student2.ru .

Решение. Находим последовательно

Производные высших порядков - student2.ru ;

Производные высших порядков - student2.ru ;

Производные высших порядков - student2.ru ;

Производные высших порядков - student2.ru ;

…………………….

Производные высших порядков - student2.ru .

,

Отметим, что в формуле (16.7.) принято Производные высших порядков - student2.ru , т.е. производная нуле-вого порядка есть сама функция.

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону Производные высших порядков - student2.ru . Как известно, производная первого порядка Производные высших порядков - student2.ru .

Механический смысл производной второго порядка: вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения материальной точки, т.е. Производные высших порядков - student2.ru .

Пусть функция Производные высших порядков - student2.ru задана неявно в виде уравнения Производные высших порядков - student2.ru .

Продифференцировав это уравнение по x и разрешив полученное уравнение отно-сительно Производные высших порядков - student2.ru , найдем производную первого порядка. Продифференцировав по x первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут x, y и Производные высших порядков - student2.ru . Подставляя уже найденное значение Производные высших порядков - student2.ru в выражение второй производной, выразим Производные высших порядков - student2.ru через x и y.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и выше) порядка.

Пример 16.12. Найти производную второго порядка функции, заданной уравне-нием Производные высших порядков - student2.ru в точке Производные высших порядков - student2.ru .

Решение. Находим производную первого порядка:

Производные высших порядков - student2.ru Þ Производные высших порядков - student2.ru .

Используя равенство Производные высших порядков - student2.ru , дифференцируем обе его части, считая y функцией по x. Получаем

Производные высших порядков - student2.ru ;

Производные высших порядков - student2.ru .

Отсюда

Производные высших порядков - student2.ru .

Следовательно, Производные высших порядков - student2.ru .

,

Пусть функция Производные высших порядков - student2.ru задана параметрическими уравнениями

Производные высших порядков - student2.ru .

Как известно, первая производная Производные высших порядков - student2.ru находится по формуле Производные высших порядков - student2.ru .

Найдем вторую производную от функции, заданной параметрически.

Из определения второй производной и равенства (16.6.) следует, что

Производные высших порядков - student2.ru ,

т.е.

Производные высших порядков - student2.ru . (16.8.)

Эту формулу можно преобразовать и получить следующую формулу

Производные высших порядков - student2.ru .

Итак,

Производные высших порядков - student2.ru . (16.9.)

Аналогично получаем

Производные высших порядков - student2.ru , Производные высших порядков - student2.ru , и т.д.

Пример 16.13 Найти вторую производную функции

Производные высших порядков - student2.ru .

Решение. Находим производные Производные высших порядков - student2.ru и Производные высших порядков - student2.ru :

Производные высших порядков - student2.ru ;

Производные высших порядков - student2.ru .

Далее

Производные высших порядков - student2.ru .

Используя формулу (16.8.), получаем

Производные высших порядков - student2.ru . ,

Дифференциал функции

Пусть дана функция Производные высших порядков - student2.ru , определенная на множестве X, и в точке Производные высших порядков - student2.ru имеет отличную от нуля производную, т.е. Производные высших порядков - student2.ru . Тогда по теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф., можно записать Производные высших порядков - student2.ru , где Производные высших порядков - student2.ru при Производные высших порядков - student2.ru , или Производные высших порядков - student2.ru .

Таким образом, приращение функции Производные высших порядков - student2.ru представляет собой сумму двух сла-гаемых Производные высших порядков - student2.ru и Производные высших порядков - student2.ru , являющиеся бесконечно малыми при Производные высших порядков - student2.ru . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с Производные высших порядков - student2.ru , так как Производные высших порядков - student2.ru , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высо-кого порядка, чем Производные высших порядков - student2.ru , так как Производные высших порядков - student2.ru .

Слагаемой Производные высших порядков - student2.ru называют главной частью приращения функции Производные высших порядков - student2.ru .

Определение 16.2. Дифференциалом функции Производные высших порядков - student2.ru в точке x называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается Производные высших порядков - student2.ru (или Производные высших порядков - student2.ru ):

Производные высших порядков - student2.ru . (16.10.)

Дифференциал Производные высших порядков - student2.ru называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной x, т.е. дифференциал функции Производные высших порядков - student2.ru . Так как Производные высших порядков - student2.ru , то согласно формуле (16.10.), имеем Производные высших порядков - student2.ru , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: Производные высших порядков - student2.ru . Поэтому формулу (16.10.) можно записать так:

Производные высших порядков - student2.ru , (16.11.)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (16.11.) следует равенство Производные высших порядков - student2.ru . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов Производные высших порядков - student2.ru и Производные высших порядков - student2.ru .

Пример 16.14. Найти дифференциал функции

Производные высших порядков - student2.ru

а) в общем виде;

б) в точке Производные высших порядков - student2.ru ;

в) при Производные высших порядков - student2.ru и Производные высших порядков - student2.ru .

Решение. Находим производную первого порядка:

Производные высших порядков - student2.ru .

а) Используя формулу (16.11.), получаем

Производные высших порядков - student2.ru .

б) Дифференциал функции в точке равен

Производные высших порядков - student2.ru .

в) При Производные высших порядков - student2.ru и Производные высших порядков - student2.ru получаем:

Производные высших порядков - student2.ru .

,

Выясним геометрический смысл дифференциала функции.

Производные высших порядков - student2.ru

Проведем к графику функции Производные высших порядков - student2.ru в точке Производные высших порядков - student2.ru касательную Производные высших порядков - student2.ru и рассмотрим ординату этой касательной для точки Производные высших порядков - student2.ru . На рисунке Производные высших порядков - student2.ru , Производные высших порядков - student2.ru . Из прямоугольного треугольника Производные высших порядков - student2.ru имеем:

Производные высших порядков - student2.ru , т.е. Производные высших порядков - student2.ru .

Но, согласно геометрическому смыслу производной, Производные высших порядков - student2.ru . Поэтому Производные высших порядков - student2.ru .

Сравнивая полученный результат с формулой (16.10.), получаем Производные высших порядков - student2.ru .

Геометрический смысл: дифференциал функции Производные высших порядков - student2.ru в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение Производные высших порядков - student2.ru .

Правила вычисления дифференциала аналогичны соответствующим правилам нахождения производной.

Инвариантность формы записи дифференциала

Пусть Производные высших порядков - student2.ru для Производные высших порядков - student2.ru , тогда

Производные высших порядков - student2.ru .

Рассмотрим сложную функцию Производные высших порядков - student2.ru , где Производные высших порядков - student2.ru Производные высших порядков - student2.ru , причем Производные высших порядков - student2.ru и Производные высших порядков - student2.ru дифференцируемы соответственно в точках x и Производные высших порядков - student2.ru . Тогда Производные высших порядков - student2.ru , но Производные высших порядков - student2.ru следовательно, Производные высших порядков - student2.ru . А так как Производные высших порядков - student2.ru , то

Производные высших порядков - student2.ru .

Таким образом, форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариант-ностью (неизменностью) формы записи дифференциала.

Заметим, что из инвариантности следует, что, хотя Производные высших порядков - student2.ru (x – незави-симая переменная), а Производные высших порядков - student2.ru ( Производные высших порядков - student2.ru – функция), запись их одинакова. Однако сущность этих формул различна: Производные высших порядков - student2.ru задается произвольно, Производные высших порядков - student2.ru же задавать произвольно, вообще говоря, нельзя; Производные высших порядков - student2.ru нужно вычислить по формуле дифференциала Производные высших порядков - student2.ru . Это относится и к случаю с несколькими промежуточными функциями.

Наши рекомендации