Производные высших порядков

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Рассмотрим явно заданную функцию .

Производная этой функции – функция, зависящая от . Если функция дифференцируема, то её производная называется производной второго порядка и обозначается или .

Следовательно, .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается . Следовательно, .

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной порядка:

.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках ( или – производная пятого порядка).

Пример. Найти производную -го порядка от функции .

Решение:

,

,

,

,

…………….,

.

Ответ: .

Рассмотрим функцию заданную неявно в виде уравнения .

Первую производную от неявной функции можно найти по формуле . Так как первая производная выражается через неявную функцию, то при её повторном дифференцировании нужно учитывать, что .

Пример. Найти производную второго порядка от функции .

Решение: Дифференцируем уравнение по .

. Далее имеем:

.

Ответ: .

Рассмотрим функцию заданную параметрически:

Как известно, первая производная находится по формуле .

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и формулы следует, что

, т.е.

. (2.4.1)

Аналогично получаем …, и т.д.

Пример. Найти производную второго порядка от функции

Решение: .

Тогда по формуле (2.4.1) .

Ответ: .

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону . Как уже известно, производная равна скорости точки в данный момент времени: .

Пусть в момент времени скорость точки равна , а в момент – скорость равна , т.е. за промежуток времени скорость изменилась на величину .

Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время . Предел этого отношения при , называется ускорением точки в данный момент времени и обозначается : , т.е. .

Но . Поэтому , т.е. .

Таким образом, вторая производная пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения, т.е.

.

Рассмотрим функцию двух переменных, заданную в явном виде . Её частные производные и являются также функциями двух переменных и . Следовательно, от них снова можно взять частные производные по и по :

,

,

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и т.д. порядков. Так,

.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

, , .

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение:

Так как и , то

,

,

,

.

Оказалось, что . Этот результат не случаен. Имеет место теорема.

Теорема 1. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для имеем: .