Производные высших порядков

Производной n-го порядканазывается производная от производной (n-1)-го порядка.

Пример 1.Найти производные до n-го порядка включительно от функции .

Решение: , , , и т. д.

Очевидно, что производная n-го порядка .

Вторая производная от неявной функции находится дифференцированием функции по переменной , учитывая при этом, что есть функция от .

Пример 2. Найти для неявной функции .

Решение:

Дифференцируем правую и левую часть по : .

Разрешая относительно производной, получим: .

Дифференцируем еще один раз по : .

Подставляя в последнее выражение значение , получим

.

Вторая производная от функции по , заданной параметрически, равна .

Третья производная и т.д.

Пример 3. Найти для функции .

Решение: Найдем первую производную: .

Вторую производную находим по формуле:

.

Производная n-го порядка от произведения двух функций удобнее находить по формуле Лейбница.

,где - биномиальные коэффициенты, , .

Пример 4. Найти для функции .

Решение: Положим , . Тогда , , , . По формуле Лейбница все слагаемые, кроме трех последних, равны нулю, поэтому получаем:

.

Для данных функций найти производные указанного порядка:

1. , -?

2. , - ?

3. , -?

4. , -?

5. , -?

6. , -?

7. , -?

8. , - ? Ответ: ,

9. , - ? Ответ: .

Если , то . Если , то .

10. , -? Ответ: .

11. , - ? Ответ: .

12. , -? Ответ: .

13. , -? Ответ: .

14. , -? Ответ: .

15. ? -? Ответ: .

16. , -? Ответ: .

17. , -? Ответ: .

18. -? Ответ: .

19. -? Ответ: .

20. - ? Ответ: .

21. - ? Ответ: .

22. - ? Ответ: .

23. -? Ответ: .

24. -? Ответ: .

25. , -? Ответ: .

26. , -?

Ответ: .

27. , - ? Ответ:

28. , - ? Ответ: .

29. , - ?

Ответ: .

30. , -?

Ответ:

.

31. , -? Ответ: .

32. , - ? Ответ: .

33. , -? Ответ: .

34. , -?

Ответ: , где .

35. , -? Ответ: .

36. , -? Ответ: .

37. , -? Ответ: .

38. , -?

Ответ: , где , .

39. , -?

Указание: Преобразовать выражение к виду: .

По формуле п. 36

и .

.

40. , - ? Ответ: .

Указание: в формуле п. 38 положить .

42. , -? Ответ: .

Указание: в формуле п. 38 положить .

41. , -? Ответ: .

Указание: Находим первую производную .

По формуле п. 36

.

43. , -?

Указание: Записать функцию в виде и, применяя формулу Лейбница, продифференцировать n раз. При будем иметь . Откуда при получим или . Полученная рекуррентная формула позволяет определить - ую производную в точке . Значения находятся непосредственно

, .

,

.

44. , -? Ответ: .

45. .

Дифференциал функции

Дифференциал (первого порядка)функции -это главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциал аргумента равен его приращению: . Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента .

Основные свойства дифференциала:

1. , где - const.

2. .

3. .

4. .

5. , .

6. , . Форма дифференциала первого порядка не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. В этом состоит свойство инвариантности формы дифференциала первого порядка.

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка: .

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка: . Дифференциал n-го порядка: .

Если и - независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:

, ,….., .

Если , , то , где дифференцирование функции выполняется по переменной . Это имеет место и для дифференциалов более высоких порядков.

.

Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы.

Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке .

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и . Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

Абсолютная величина разности между истинным значением какой-либо величины и ее приближенным значением называетсяабсолютной погрешностьюи обозначается .

Абсолютная величина отношения абсолютной погрешности к истинному значению называется относительной погрешностью и обозначается . Относительная погрешность обычно выражается в процентах .

Если приращение функции заменить ее дифференциалом, то получим приближенное значение приращения . В этом случае абсолютная погрешность равна , а относительная погрешность будет .

С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции , если известна абсолютная погрешность аргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.

Пусть требуется вычислить значение функции при некотором значении аргумента , истинная величина которого нам известна, но дано его приближенное значение с абсолютной погрешностью , . Тогда

.

Отсюда видно, что .

Относительная погрешность функции выражается формулой

.

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение: .

Пример 2. Найти все дифференциалы функции .

Решение: ,

, ,

, .

Пример 3. Найти для неявно заданной функции .

Решение: Функция задана неявно. Находим первую производную

, тогда .

Вычислим вторую производную

, отсюда .

Пример 4. Выразить дифференциал сложной функции через независимую переменную и дифференциал: , , .

Решение: . .

Пример 5. Вычислить приближенное значение .

Решение: Рассмотрим функцию . Полагая , и применяя формулу , получим:

.

Пример 6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.

Решение: Воспользуемся формулой . Полагая , , имеем . Следовательно, приближенное значение площади круга составляет .

Пример 7. Для функции найти приращение ординаты касательной и приращение функции при переходе аргумента от значения к .

Решение: согласно геометрическому смыслу дифференциала, приращению ординаты касательной соответствует дифференциал функции .

При и получим .

Приращение функции находим по формуле

.

Следовательно, приращение ординаты касательной равно 0,7, а приращение функции 0,71. Т. к. , то .

Пример 8. Найти дифференциал и приращение функции в точке и . Найти абсолютную и относительную погрешности значения функции при замене приращения функции ее дифференциалом.

Решение: Имеем: ,

.

При и получим:

, .

Абсолютная погрешность , а относительная погрешность .

Пример 9. При измерении сторона куба оказалась равной 4 см. При этом максимально возможная погрешность измерения находится в пределах см. Определить абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема куба.

Решение: Объем куба равен см .

Возможная неточность измерения .

Отсюда абсолютная погрешность .

Относительная погрешность .

Пример 10.Найти приближенно .

Решение: Полагаем , тогда ,

.

Если принять , то , .

Найти дифференциалы указанных порядков от функций:

1. , -?. Ответ: .

2. , -? Ответ: .

3. , -? Ответ: .

4. , -? Ответ: .

5. , , , -? Ответ: .

, .

6. , -?

Ответ: .

7. , -? Ответ: .

8. , -? Ответ: .

9. -? Ответ: .

10. -? Ответ: .

11. , -? Ответ: .

12. , -? Ответ: .

13. , . -? Ответ: , .

14. , , -?

Ответ: , .

15. -?

Найти приближенное значение:

16. . Ответ: 0,811.

17. . Ответ: 1,035.

18. . Ответ: 0,078.

19. . Ответ: 1,9938.

20. . Ответ: 2,02.

21. . Ответ:3,03.

22. . Ответ: .

23. . Ответ: .

24. . Ответ: 0,1.

25. . Ответ: .

26. Определить, на сколько приблизительно увеличится объем шара, если его радиус см увеличить на 0,2см. Ответ: 565 .

27. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м. Ответ: .

28. Сравнить приращение и дифференциал функции .

Ответ: , .

29. Вычислить , для функции при и .

Ответ: , .

30. Найти приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м.

Ответ: .

31. Найти приближенное значение из уравнения:

. Ответ: .

32. Найти приближенно значение объема шара радиуса .

Ответ: .

33. Ребра куба увеличены на 1см. При этом дифференциал объема куба оказался равным 12 см . Найти первоначальную длину ребер. Ответ: 2 см.

34. Радиус круга увеличен на 1см. Дифференциал площади круга оказался при этом равным см . Найти первоначальную величину радиуса. Ответ: 3 см.

35. Определить приблизительно относительную погрешность при вычислении поверхности сферы, если при определении ее радиуса относительная погрешность составила . Ответ: .