Производные высших порядков

Пусть функция Производные высших порядков - student2.ru дифференцируема на Производные высших порядков - student2.ru . Производные высших порядков - student2.ru , вообще говоря, зависит от Производные высших порядков - student2.ru , то есть Производные высших порядков - student2.ru – функция. Дифференцируя эту функцию, получаем так называемую вторую производную от Производные высших порядков - student2.ru . Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной

Производные высших порядков - student2.ru , Производные высших порядков - student2.ru .

Пример. Найти производную второго порядка функции Производные высших порядков - student2.ru .

Решение.

Производные высших порядков - student2.ru , Производные высших порядков - student2.ru .

Производной от второй производной называется производная третьего порядка или третья производная Производные высших порядков - student2.ru .

Вообще, производной Производные высших порядков - student2.ru -го порядка от функции Производные высших порядков - student2.ru называется производная первого порядка от ( Производные высших порядков - student2.ru )-го порядка

Производные высших порядков - student2.ru ,

Производные высших порядков - student2.ru .

Обозначается в римских цифрах.

Пример 1. Найти выражение производной любого порядка Производные высших порядков - student2.ru функции Производные высших порядков - student2.ru , где Производные высших порядков - student2.ru .

Решение.

Производные высших порядков - student2.ru .

Пример 2. Найти производную Производные высших порядков - student2.ru -го порядка функции Производные высших порядков - student2.ru .

Решение.

Производные высших порядков - student2.ru

Производные высших порядков - student2.ru ,

Производные высших порядков - student2.ru .

Выведем формулу Лейбница, дающую возможность вычислять производную Производные высших порядков - student2.ru -го порядка от произведения Производные высших порядков - student2.ru .

Производные высших порядков - student2.ru ,

Производные высших порядков - student2.ru ,

Производные высших порядков - student2.ru ,

Производные высших порядков - student2.ru ,

Производные высших порядков - student2.ru .

Производные высших порядков - student2.ru надо разложить по биному Ньютона и в полученном разложении заменить показатели степени Производные высших порядков - student2.ru и Производные высших порядков - student2.ru указателями порядка производных, причем нулевые степени ( Производные высших порядков - student2.ru ), входящие в крайние члены разложения надо заменить самими Производные высших порядков - student2.ru и Производные высших порядков - student2.ru , то есть производными нулевого порядка.

Производные высших порядков - student2.ru ,

данное выражение носит название формула Лейбница.

Наши рекомендации