Производные высших порядков

Производная

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Пусть Δx - приращение аргумента в точке x. Обозначим через Δy или Δfприращение функции, равное f(x+Δx) – f(x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента Δx соответствует бесконечно малое приращение функции Δf.

Отношение Δf /Δx, как видно из рисунка 3.1, равно тангенсу угла α, который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Рис. 3.1.

Представим себе процесс, в котором величина Δx, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривойy = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет вращаться около точки M так, что при очень малых величинах Δx ее угол наклона α будет сколь угодно близок к углу φ наклона касательной к кривой в точке x. Следует отметить, что все сказанное относится к случаю, когда график функции y = f(x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в этой точке можно провести касательную к графику функции.

Отношение Δy / Δx или, что то же самое (f(x + Δx) f(x)) / Δx, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента Δx. Эта функция не определена в точке Δx = 0. Однако ее предел в этой точке может существовать.

Если существует предел отношения (f(x + Δx) – f(x)) / Δx в точке Δx = 0, то он называется производнойфункции y = f(x) в точке x и обозначается y′или f′(x): .

Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.

Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f′(x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке(a, b).

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Производная - это скорость изменения функции в точкеx. Из определения производной следует, что f′ (x) ≈ Δf / Δx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Δx. Производная f′ (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Δf и Δx.

Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x₀, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовем угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены на рисунке 3.2.

Рис. 3.2.

Так функция y = ⎢x ⎢ не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.

Приведем теперь основные свойства производной.

1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

2. Если существует f′ (x) , и С ‑ произвольное число, то функция CF(x) имеет производную: (Cf(x))′ = Cf′ (x).

3. Если существуют f′ (x) и g′ (x), то функция S(x) = f(x) + g(x) имеет производную: S′ (x) = f′ (x) + g′ (x).

4. Если существуют f′ (x) и g′ (x), то функция P(x) = f(x)g(x) имеет производную: P′ (x) = f′ (x)g(x) + f(x)g′ (x).

5. Если существуют f′ (x) и g′ (x) и при этом g(x) ≠ 0, то функция D(x) = f(x) / g(x) имеет производную: D′ (x) = (f′ (x) g(x) - f(x) g′ (x)) / g²(x).

В любом курсе математического анализа доказывается теорема о производной сложной функции. Мы ограничимся лишь ее формулировкой.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x) имеет в точке x производную F′ (x) = f′ (z) g′ (x).

Приведем примеры вычисления производной сложной функции.

Дифференциал функции

Рассмотрим две функции: y₁ = f₁(x) и y₂ = f₂(x), которые имеют производные f₁′ (x) и f₂′ (x) в каждой точке некоторой области D. Возьмем какую-либо точку x из области D и дадим аргументу приращение Δx. Тогда функции получат соответственно приращения Δy₁ = f₁(x + Δx) - f₁(x) иΔy₂ = f₂(x + Δx) - f₂(x). Из графиков, изображенных на рисунке 3, видно, что в обоих случаях приращения Δy₁ и Δy₂ можно представить в виде сумм двух слагаемых: Δy₁ = (C₁ - A₁) + (B₁ - C₁); Δy₂ = (C₂ - A₂) + (B₂ - C₂) (1)

Рис. 3.3.

Первые слагаемые в правых частях обоих выражений (1) легко вычисляются из сходных формул: C₁ – A₁ = tgα₁ Δx = f₁′ (x)Δx; C₂ – A₂ = tgα₂ Δx = f₂′ (x)Δx.

Величина f′ (x) Δx называется главной частью приращения функции y = f(x) в точке x. (Здесь мы говорим только о функции, имеющей в точке x производную). Главная часть приращения функции линейна относительно приращения аргумента Δx (можно сказать – пропорциональна приращению Δx). Это означает, что если приращение аргумента Δx уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.

Формулы (1) можно переписать в виде:

Δy₁ = f₁′ Δx + r₁; Δy₂ = f₂′ Δx + r₂. (2)

Здесь r₁ = B₁ – C₁; r₂= B₂– C₂.

Величины r₁ и r₂ в формулах (2) при уменьшении Δxв k раз уменьшаются более чем в k раз, что можно видеть, сравнивая рисунки 3 и 4, и говорят, что r₁ и r₂ стремятся к нулю быстрее, чем Δx .

Рис. 3.4.

Назовем функцию β (z)бесконечно малой в точке z = z₀, если .

Пусть функции β (z)и γ (z)являются бесконечно малыми в точке z = z₀.. Функция β (z)называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция γ (z), если .

Величины r₁ и r₂ в формулах (2) являются функциями аргумента Δx, бесконечно малыми в точке Δx = 0. Можно показать, что . Это означает, что функцииr₁(Δx) и r₂(Δx) являются бесконечно малыми функциями более высокого порядка, чемΔx,в точкеΔx = 0.

Таким образом приращение функции y = f(x) в точке, в которой существует ее производная, может быть представлено в виде Δy = f′(x) Δx +β (Δx), гдеβ (Δx) ‑ бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Δx, в точке Δx= 0.

Главная, линейная относительно Δx, часть приращения функции y = f(x), равная f′ (x) Δx, называется дифференциалом и обозначается dy: dy = f′ (x) Δx. (3)

Если сюда подставить функцию f(x) = x, то, так как x′ = 1, формула (3) примет вид: dx = Δx. Эта формула легко истолковывается с помощью графика функции y = x, из которого видно, что приращение этой функции содержит лишь главную часть. Таким образом, для функции y = x приращение совпадает с дифференциалом. Теперь формулу дифференциала (3) можно переписать так dy = f′ (x) dx. Отсюда следует, что ,

то есть производная функцииf(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Очевидны следующие свойства дифференциала:

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C -постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x), d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x). Если при этом g(x) ≠0, то

Пусть y = f(x) ‑ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df(x) = f′ (x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y = F(t) = f(x(t)) -сложная функция от t, и ее дифференциал вычисляется по формуле dy = F′(t)dt = f′ (x)x′ (t)dt. Однако по определению дифференциала x′ (t)dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f′ (x)dx.

Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство Δx = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.

Производные высших порядков

Может оказаться что функция f′(x), называемая первой производной, тоже имеет производную (f′(x))′. Эта производная называется второй производной функции f(x) и обозначается f′′(x). Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна f′(t), а ускорение равно f′′(t).

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f′′′(x).

Если определена n-я производная f ⁽ⁿ⁾(x) и существует ее производная, то она называется (n+1)-й производной функции f(x): f ^{(n + 1)}(x) = (f⁽ⁿ⁾(x))′.

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.