Тема 3. « Исследование функций и построение графиков»
Алгоритм исследования функций:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1:Постройте график функции  . Решение. 1. Данная функция определена на всей числовой прямой за исключением х=3, т.к. в этой точке знаменатель обращается в ноль. 2. Для определения четности и нечетности функции найдем  :  =  =  . Видим, что  и  , следовательно, функция ни четная, ни нечетная. 3. Найдем точки пересечения с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью Ох примем у=0. Получим уравнение:  . Итак, точка (0; 0) – точка пересечения с осями координат. 4. Найдем производную функции по правилу дифференцирования дроби:  =  =  =  =  . 5. Для нахождения критических точек первого рода найдем точки, в которых производная функции равна 0 или не существует.  , если =0, следовательно,  . Произведение тогда равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0:  или  .  не существует, если знаменатель (х-3)2 равен 0, т.е. не существует при х=3. Итак, функция имеет три критические точки первого рода:  ;  ;  . На числовой оси отметим критические точки первого рода, причем точку отмечаем выколотой точкой, т.к. в ней функция не определена. Расставляем знаки производной = на каждом промежутке:
 На промежутках, где Точка х=0 является точкой максимума функции.. Точка х=6 является точкой минимума функции. 6. Найдем вторую производную функции как производную от первой производной: = Вынесем в числителе х-3 за скобки и выполним сокращение:
Приведем в числителе подобные слагаемые: 7. Найдем критические точки второго рода: точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует.
Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода: Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. На числовой оси отметим критическую точку второго рода выколотой точкой, т.к. в ней функция не определена. Расставляем знаки второй производной
На промежутках, где Точка х=3 не является точкой перегиба графика функции, т.к. в ней исходная функция не определена. 8. Найдем асимптоты графика функции. 8.1. Поскольку область определения функции – все действительные числа за исключением х=3, то проверим, является ли прямая х=3 вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции Получили, что 8.2. Для поиска горизонтальных асимптот находим b = 8.3. Для поиска наклонных асимптот находим
Итак, b= Получили, что b= 3. Тогда у=kx+b – наклонная асимптота. В нашем случае она имеет вид: у=x+3. Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту х=3 и наклонную асимптоту у=x+3.
10. По результатам исследования и точкам строим график функции. |
- функция чётная ( симметрия относительно ОУ) 
- функция нечётная ( симметрия относительно начала координат) 
- функция общего вида (симметрии нет) 
( найти корни уравнения, отметить их на прямой, разбить на промежутки) 2)определить знак производной в каждом интервале(подставить удобное число в производную), 3) сделать вывод 
( найти корни уравнения, отметить их на прямой, разбить на промежутки) 2)определить знак производной в каждом интервале(подставить удобное число во вторую производную), 3) сделать вывод 
, исходная функция возрастает (при 
(-∞;0] 
), где 
- убывает (при 
(3;6]).
= 
=
.
= 
.
.
не существует, если знаменатель (х-3)3 равен 0, т.е. 
.
, исходная функция вогнута (при 
- выпукла (при 
.
, следовательно, х=3 - вертикальная асимптота.
:
. Т.к. b – бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.
:
= 
= 
=1.
.
= 
= 
= 
.
9.
, 
, 
РАЗДЕЛ 4. «Применение интегрального исчисления»