Исследование функций и построение графиков

I. Методические указания и примеры

Теорема 4.1(достаточный признак монотонности функции). Если производная функции Исследование функций и построение графиков - student2.ru неотрицательна (неположительна) на интервале (а, b), то данная функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Теорема 4.2(необходимые условия существования экстремума).Если функция Исследование функций и построение графиков - student2.ru имеет в точке Исследование функций и построение графиков - student2.ru из интервала (а, b) экстремум, то либо Исследование функций и построение графиков - student2.ru , либо Исследование функций и построение графиков - student2.ru , либо Исследование функций и построение графиков - student2.ru не существует.

Определение 4.1.Точки из области определения функции Исследование функций и построение графиков - student2.ru , в которых её производная равна нулю, бесконечности, или не существует, называются критическими точками данной функции (иначе точками, подозрительными на экстремум). Точки, где производная Исследование функций и построение графиков - student2.ru равна нулю, называют также стационарными точками.

Определение 4.2. Экстремум функции Исследование функций и построение графиков - student2.ru , достигаемый в стационарной точке, называется гладким экстремумом. Если в точке экстремума не существует Исследование функций и построение графиков - student2.ru , но существуют неравные между собой односторонние производные, то такой экстремум называется угловым. Если в точке экстремума производная бесконечна, то он называется острым.

Исследование функций и построение графиков - student2.ru

Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru Например, функция Исследование функций и построение графиков - student2.ru имеет в точке (1, е +2) гладкий экстремум, касательная к её графику в этой точке параллельна оси Оx (рис. 4.1). Функция Исследование функций и построение графиков - student2.ru имеет в точках (1, Исследование функций и построение графиков - student2.ru ) и (–2, Исследование функций и построение графиков - student2.ru ) острые экстремумы, касательные к графику в этих точках параллельны оси Оy (в них производная бесконечна, рис. 4.2). Функция Исследование функций и построение графиков - student2.ru имеет в точке (–1, π/2) угловой экстремум, её график в этой точке имеет только односторонние касательные (в точке экстремума производной не существует, рис. 4.3).

Исследование функций и построение графиков - student2.ru

       
 
ОО
    Исследование функций и построение графиков - student2.ru
 

ОО
Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru
у
x
π/2
Теорема 4.3(достаточный признак существования экстремума, связанный с первой производной). Пусть функция Исследование функций и построение графиков - student2.ru непрерывна в некоторой окрестности критической точки Исследование функций и построение графиков - student2.ru и дифференцируема во всех точках этой окрестности за исключением, быть может, самой точки Исследование функций и построение графиков - student2.ru . Если при переходе аргумента х через эту точку слева направо производная Исследование функций и построение графиков - student2.ru меняет знак, то в точке Исследование функций и построение графиков - student2.ru функция Исследование функций и построение графиков - student2.ru имеет экстремум (при изменении знака Исследование функций и построение графиков - student2.ru с плюса на минус – максимум, с минуса на плюс – минимум).

–1
Исследование функций и построение графиков - student2.ru

Например, для функции Исследование функций и построение графиков - student2.ru её первая производная

Исследование функций и построение графиков - student2.ru

равна нулю при Исследование функций и построение графиков - student2.ru , а в точке Исследование функций и построение графиков - student2.ru данная функция имеет неравные между собой односторонние производные Исследование функций и построение графиков - student2.ru и Исследование функций и построение графиков - student2.ru . Точки Исследование функций и построение графиков - student2.ru и Исследование функций и построение графиков - student2.ru – критические для данной функции, при этом точка Исследование функций и построение графиков - student2.ru является также стационарной точкой, а в точке Исследование функций и построение графиков - student2.ru производной не существует. При переходе через точку Исследование функций и построение графиков - student2.ru слева направо производная Исследование функций и построение графиков - student2.ru меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку Исследование функций и построение графиков - student2.ru производная меняет знак с минуса на плюс. Поэтому функция в точке Исследование функций и построение графиков - student2.ru имеет гладкий максимум, а в точке Исследование функций и построение графиков - student2.ru – угловой минимум (на рис. 4.4 в точке (2, 0) изображены односторонние касательные T1, T2).

Определение 4.3.График Гфункции Исследование функций и построение графиков - student2.ru , дифференцируемой на интервале (а, b), называется выпуклым вверх (вниз) на этом промежутке, если он расположен ниже (выше) касательной, проведённой к Гв любой его точке Исследование функций и построение графиков - student2.ru , где Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

Теорема 4.4 (достаточное условие выпуклости графика функции на интервале).Если функция Исследование функций и построение графиков - student2.ru дважды дифференцируема на интервале (а, b) и Исследование функций и построение графиков - student2.ru всюду на этом интервале, то график этой функции на интервале (а, b) является выпуклым вверх (вниз).

Например, пусть Исследование функций и построение графиков - student2.ru , тогда Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru и Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru . Поскольку Исследование функций и построение графиков - student2.ru на промежутках Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru и Исследование функций и построение графиков - student2.ru на промежутке Исследование функций и построение графиков - student2.ru то на промежутках Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru график функции направлен выпуклостью вверх, а на промежутке Исследование функций и построение графиков - student2.ru – выпуклостью вниз (рис. 4.5).

Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru
Рис. 4.5. График функции Исследование функций и построение графиков - student2.ru Рис. 4.6. График функции Исследование функций и построение графиков - student2.ru

Определение 4.4.Пусть функция Исследование функций и построение графиков - student2.ru непрерывна на некоторой окрестности U( Исследование функций и построение графиков - student2.ru ) точки Исследование функций и построение графиков - student2.ru и дифференцируема на U( Исследование функций и построение графиков - student2.ru ) за исключением, быть может, самой точки Исследование функций и построение графиков - student2.ru . Если при переходе аргумента х через эту точку меняется направление выпуклости графика Гэтой функции, то точка Исследование функций и построение графиков - student2.ru называется точкой перегиба графика Г.

Так, для функции Исследование функций и построение графиков - student2.ru точки (– 1, 1/4), (1, 1/4) – точки перегиба её графика (рис. 4.5).

Определение 4.5.Пусть функция Исследование функций и построение графиков - student2.ru определена на некоторой окрестности точки Исследование функций и построение графиков - student2.ru , кроме, быть может, самой точки Исследование функций и построение графиков - student2.ru . Если хотя бы один из пределов Исследование функций и построение графиков - student2.ru или Исследование функций и построение графиков - student2.ru бесконечен, то прямая L: Исследование функций и построение графиков - student2.ru называется вертикальной асимптотой графика функции Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

Например, прямая L: x = 1 – вертикальная асимптота графика функции Исследование функций и построение графиков - student2.ru , так как односторонние пределы этой функции в точке x =1 бесконечны: Исследование функций и построение графиков - student2.ru , Исследование функций и построение графиков - student2.ru (на рис. 4.6 изображён график этой функции и его вертикальная асимптота).

Определение 4.6.Пусть функция Исследование функций и построение графиков - student2.ru определена для сколь угодно больших по модулю значений аргумента х. Прямая L: Исследование функций и построение графиков - student2.ru называется асимптотой графика данной функции при Исследование функций и построение графиков - student2.ru , если функция Исследование функций и построение графиков - student2.ru представима в виде:

Исследование функций и построение графиков - student2.ru , где Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru при Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

Если угловой коэффициент k асимптоты L: Исследование функций и построение графиков - student2.ru равен нулю, то она называется горизонтальной, если же Исследование функций и построение графиков - student2.ru , то асимптота называется наклонной.

Теорема 4.5.Для того чтобы прямая L: Исследование функций и построение графиков - student2.ru была асимптотой графика функции Исследование функций и построение графиков - student2.ru при Исследование функций и построение графиков - student2.ru , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела:

Исследование функций и построение графиков - student2.ru , Исследование функций и построение графиков - student2.ru . (4.1)

Эта теорема справедлива и для случая Исследование функций и построение графиков - student2.ru , т. е. график функции может иметь различные асимптоты при Исследование функций и построение графиков - student2.ru и при Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

Исследование функций и построение графиков - student2.ru Например, исследуем функцию Исследование функций и построение графиков - student2.ru на наличие асимптот у её графика. Для этого вычисляем пределы (4.1):

k = Исследование функций и построение графиков - student2.ru = Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

Получаем два значения k: k1 = –1 при Исследование функций и построение графиков - student2.ru и k1 = 1 при Исследование функций и построение графиков - student2.ru . С каждым из них вычисляем второй из пределов (4.1):

b1= Исследование функций и построение графиков - student2.ru = Исследование функций и построение графиков - student2.ru = 0;

b2 = Исследование функций и построение графиков - student2.ru = Исследование функций и построение графиков - student2.ru = 0.

Итак, график данной функции имеет две наклонных асимптоты Исследование функций и построение графиков - student2.ru при Исследование функций и построение графиков - student2.ru и Исследование функций и построение графиков - student2.ru при Исследование функций и построение графиков - student2.ru (рис. 4.7).

Приведённые выше теоремы являются теоретической базой, используемой при построении графиков функций.

План исследования функции

1. Отыскание области определения данной функции Исследование функций и построение графиков - student2.ru , установление свойств чётности (нечётности) и периодичности.

2. Отыскание точек пересечения графика функции с осями координат и промежутков знакопостоянства.

3. Исследование функции на непрерывность и существование асимптот.

4. Отыскание промежутков монотонности и точек экстремума.

5. Отыскание промежутков одинаковой направленности выпуклости графика функции и точек перегиба.

6. Построение математического эскиза графика функции и отыскание множества её значений.

Пример 4.1. Исследовать функции Исследование функций и построение графиков - student2.ru и построить её график.

1. Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

2. График пересекает оси координат в точках (2, 0) и (0, –4), Исследование функций и построение графиков - student2.ru при Исследование функций и построение графиков - student2.ru , Исследование функций и построение графиков - student2.ru при Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

3. Функция непрерывна на Исследование функций и построение графиков - student2.ru как элементарная, Исследование функций и построение графиков - student2.ru – точка разрыва 2 рода ( Исследование функций и построение графиков - student2.ru ), прямая Исследование функций и построение графиков - student2.ru – вертикальная асимптота графика функции (определение 4.5). Вычисляя пределы (4.1), имеем:

Исследование функций и построение графиков - student2.ru ,

Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

Итак, прямая Исследование функций и построение графиков - student2.ru – наклонная асимптота графика функции (теорема 4.5).

Исследование функций и построение графиков - student2.ru 4. Исследование функций и построение графиков - student2.ru , на Исследование функций и построение графиков - student2.ru только две критические точки: Исследование функций и построение графиков - student2.ru , Исследование функций и построение графиков - student2.ru . Вместе с точкой Исследование функций и построение графиков - student2.ru они делят ось Ох на 4 промежутка: (– ∞, –1), (–1, 1), (1, 2), (2, +∞). Знак Исследование функций и построение графиков - student2.ru в каждом из них приведён в таблице 4.1. Характер изменения функции указан стрелками, символ Исследование функций и построение графиков - student2.ru – символ несуществования, Исследование функций и построение графиков - student2.ru – точка гладкого максимума, а в точке Исследование функций и построение графиков - student2.ru нет экстремума, ибо Исследование функций и построение графиков - student2.ru не меняет знака при переходе аргумента х через эту точку.

Исследование функций и построение графиков - student2.ru 5. Исследование функций и построение графиков - student2.ru , Исследование функций и построение графиков - student2.ru – единственная точка, подозрительная на перегиб, Исследование функций и построение графиков - student2.ru . Вместе с точкой Исследование функций и построение графиков - student2.ru она делит ось Ох на три промежутка: Исследование функций и построение графиков - student2.ru (1, 2) Исследование функций и построение графиков - student2.ru . Знак Исследование функций и построение графиков - student2.ru в каждом из них приведён в таблице 4.2. В ней дугами указано направление выпуклости графика функции, (2, 0) – точка перегиба графика.

6.Результаты проведённых исследований используем для построения графика данной функции. Сначала строим асимптоты, точку максимума и точку перегиба, затем строим график функции с учётом характера поведения функции на Исследование функций и построение графиков - student2.ru (таблица 4.1) и направления выпуклости графика (таблица 4.2). График данной функции приведён на рис. 4.8, Е(f )=R.◄

Пример 4.2. Исследовать функцию Исследование функций и построение графиков - student2.ru и построить её график.

Исследование функций и построение графиков - student2.ru1.D( f ) = R. Не выполняется ни одно из равенств: f (–x) = – f (x), f (–x) = f (x), данная функция не является чётной или нечётной – её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

2.f (x) = 0 Þ Исследование функций и построение графиков - student2.ru Þ x = 1, график пересекает ось Oх в точке (1, 0). Для того чтобы найти ординату точки пересечения графика функции с осью Oy, вычислим f (0): f (0) Исследование функций и построение графиков - student2.ru . График пересекает ось Oу в точке (0, Исследование функций и построение графиков - student2.ru ).

3.Данная функция непрерывна на D(f )= R как элементарная и, следовательно, её график не имеет вертикальных асимптот. Решая вопрос о существовании наклонных или горизонтальных асимптот, для данной функции вычислим пределы из равенств (4.1):

Исследование функций и построение графиков - student2.ru ,

Исследование функций и построение графиков - student2.ru

Значит, наклонных асимптот нет, а имеется одна горизонтальная асимптота Исследование функций и построение графиков - student2.ru при Исследование функций и построение графиков - student2.ru . Графически это означает, что при Исследование функций и построение графиков - student2.ru график данной функции неограниченно приближается к оси абсцисс, не пересекая её.

4. Исследование функций и построение графиков - student2.ru при x = 2. Так как Исследование функций и построение графиков - student2.ru на интервале (2, + ∞) и Исследование функций и построение графиков - student2.ru на интервале (– ∞, 2), то по теореме 4.2 в точке x = 2 функция имеет гладкий максимум (т.к. Исследование функций и построение графиков - student2.ru ), Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

5. Исследование функций и построение графиков - student2.ru при x = 3. Так как Исследование функций и построение графиков - student2.ru на интервале (– ∞, 3) и Исследование функций и построение графиков - student2.ru на интервале (3, + ∞), то график функции в силу теоремы 4.4 на первом из этих интервалов направлен выпуклостью вверх, а на втором – выпуклостью вниз, точка (3, 2e–1) является точкой перегиба графика.

6.По результатам проведённых исследований строится график данной функции (рис. 4.9), Е( f )=(– ∞, 1].◄

Пример 4.3. Исследовать функцию Исследование функций и построение графиков - student2.ru и построить её график.

1.D( f ) = R. Не выполняется ни одно из равенств: f (–x) = – f (x), f (–x) = f (x), данная функция не является чётной или нечётной – её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

y
1
2
3
x
Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru
Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru
– e2
Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru

О Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru
2. График данной функции проходит через точки (–5, 0) и (1, 0), расположенные на оси Ох, а ось Оу пересекает в точке (0, Исследование функций и построение графиков - student2.ru ). Кроме того, так как подкоренное выражение Исследование функций и построение графиков - student2.ru при "хÎR, то f (x) ≥ 0 на всей D(y).

3.Данная функция непрерывна на D( f ) = R как элементарная и поэтому её график не имеет вертикальных асимптот. Наклонных и горизонтальных асимптот также нет, поскольку

Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

4. Исследование функций и построение графиков - student2.ru , Исследование функций и построение графиков - student2.ru при Исследование функций и построение графиков - student2.ru , Исследование функций и построение графиков - student2.ru при x = –5 и x = 1. Функция имеет три критические точки: Исследование функций и построение графиков - student2.ru , Исследование функций и построение графиков - student2.ru и x = 1, они делят ось Ox на четыре интервала: (–∞, –5), (–5, –2), (–2, 1), (1, +∞). Определив на каждом из них знак Исследование функций и построение графиков - student2.ru , полученные результаты сведём в таблицу 4.3. В ней стрелками указан характер изменения функции на данном промежутке. В точке x = – 2 функция имеет гладкий максимум, в точках x = –5 и x = 1 функция имеет острые минимумы.

Т а б л и ц а 4.3

x (– ¥, –5) – 5 (– 5, – 2) –2 (– 2, 1) (1, +¥)
Исследование функций и построение графиков - student2.ru ¥ + ¥ +
f (x) æ min ä Исследование функций и построение графиков - student2.ru max æ 0 min ä

5. Исследование функций и построение графиков - student2.ru , Исследование функций и построение графиков - student2.ru при Исследование функций и построение графиков - student2.ru , Исследование функций и построение графиков - student2.ru , Исследование функций и построение графиков - student2.ru ; f (x1)=f (x2)= Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru ≈6.9. В точках x= –5 и x = 1 не существует Исследование функций и построение графиков - student2.ru , так как в них первая производная бесконечна. Точки x = –5, x = 1 и Исследование функций и построение графиков - student2.ru – точки подозрительные на перегиб. Они разбивают ось Ox на 5 интервалов: (–∞, –2– Исследование функций и построение графиков - student2.ru ), (–2– Исследование функций и построение графиков - student2.ru , –5), (–5, 1), (1,–2+ Исследование функций и построение графиков - student2.ru ), (–2+ Исследование функций и построение графиков - student2.ru , +∞). Определив на каждом из них знак Исследование функций и построение графиков - student2.ru , полученные результаты сведём в таблицу 4.4. В ней дугами указан характер направления выпуклости графика функции на данном промежутке, символ Исследование функций и построение графиков - student2.ru – символ несуществования.

Т а б л и ц а 4.4

x (–∞ ; x1) x1 (x1 ; –5) –5 (–5, 1) (1 ; x2) x2 (x2 ; +∞)
Исследование функций и построение графиков - student2.ru + Исследование функций и построение графиков - student2.ru Исследование функций и построение графиков - student2.ru +
f (x) È »6.9 Ç Ç Ç »6.9 È

Точки с абсциссами х1, х2 – точки перегиба графика функции.

Исследование функций и построение графиков - student2.ru 6.По результатам проведённых исследований строится график данной функции (рис. 4.10), Е( f ) =[0, + ∞).◄

II. Задачи для индивидуальных заданий.

Задача 1. Исследовать функцию Исследование функций и построение графиков - student2.ru и построить её график.

1.1. Исследование функций и построение графиков - student2.ru 1.2. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
1.3. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 1.4. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
1.5. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 1.6. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
1.7. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 1.8. Исследование функций и построение графиков - student2.ru
1.9. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 1.10. Исследование функций и построение графиков - student2.ru
1.11. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 1.12. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
1.13. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 1.14. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
1.15. Исследование функций и построение графиков - student2.ru 1.16. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
1.17. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 1.18. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
1.19. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 1.20. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
1.21. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 1.22. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
1.23. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 1.24. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
1.25. Исследование функций и построение графиков - student2.ru 1.26. Исследование функций и построение графиков - student2.ru
1.27. Исследование функций и построение графиков - student2.ru 1.28. Исследование функций и построение графиков - student2.ru
1.29. Исследование функций и построение графиков - student2.ru 1.30. Исследование функций и построение графиков - student2.ru

Задача 2. Исследовать функцию Исследование функций и построение графиков - student2.ru и построить её график.

2.1. Исследование функций и построение графиков - student2.ru   2.2. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
2.3. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .   2.4. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
2.5. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .   2.6. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
2.7. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .   2.8. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
2.9. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .   2.10. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
2.11. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 2.12. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
2.13. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .   2.14. Исследование функций и построение графиков - student2.ru
2.15. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .   2.16. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
2.17. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .   2.18. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
2.19. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .   2.20. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
2.21. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .   2.22. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
2.23. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 2.24. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
2. 25 Исследование функций и построение графиков - student2.ru 2. 26 Исследование функций и построение графиков - student2.ru
2. 27 Исследование функций и построение графиков - student2.ru 2. 28 Исследование функций и построение графиков - student2.ru
2. 29 Исследование функций и построение графиков - student2.ru 2. 30 Исследование функций и построение графиков - student2.ru

Задача 3. Исследовать функцию Исследование функций и построение графиков - student2.ruи построить её график.

3.1. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .   3.2. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
3.3. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 3.4. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
3.5. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 3.6. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
3.7. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 3.8. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
3.9. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 3.10. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
3.11. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 3.12. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
3.13. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 3.14. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
3.15. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 3.16. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
3.17. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 3.18. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
3.19. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 3.20. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
3.21. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 3.22. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
3.23. Исследование функций и построение графиков - student2.ru . 3.24. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
3.25. Исследование функций и построение графиков - student2.ru 3.26. Исследование функций и построение графиков - student2.ru
3.27. Исследование функций и построение графиков - student2.ru 3.28. Исследование функций и построение графиков - student2.ru
3.29. Исследование функций и построение графиков - student2.ru 3.30. Исследование функций и построение графиков - student2.ru

Наши рекомендации