Исследование функций и построение графиков

Признак монотонности функции

Одной из существенных характеристик функции являет­ся ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание. Это определяется приводимой ниже теоремой, дока­зательство которой мы опускаем.

ТЕОРЕМА 2. Если функция f (x) дифференцируема и f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0) на интервале (а, b), то она не убывает (не возрас­тает) на этом интервале.

При f'(x) > 0 (f'(x) < 0) имеем признак строгой моно­тонности, т.е. функция возрастает (убывает). Геометрическая интерпретация связи знака производной функции и характера ее изменения очевидна (рис. 5.1): если углы наклона касатель­ных на каком-то интервале являются острыми, то функция на этом интервале возрастает: tg φ > 0; при тупом угле наклона касательной функция убывает и tg φ < 0.

Точки локального экстремума

Определение 1. Точка x₀ называется точкой локального мак­симума (минимума) функции f(x), если для любого х ≠ x₀ в не­которой окрестности точки x₀ выполнено неравенство f(x₀) > f(х) (f(x₀) < f(x)).

Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием локальный экстремум.

ТЕОРЕМА 3 (необходимое условие существования локаль­ного экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ и имеет в этой точке локальный экстремум, то f'(x₀) = 0.

Геометрический смысл теоремы 5.3 указан на рис. 5.2: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ох.

Точки, в которых касательные параллельны оси Оx, а зна­чит, производная равна нулю, называют точками возможного экстремума, или стационарными точками. Если x₀ — точка возможного экстремума, т.е. f'(x₀) = 0, то она может ине быть точкой локального экстремума. Например, для функции f(x) = x³ (рис. 3.1) производная при х = 0 равна нулю, од­нако в этой точке нет локального экстремума. Таким образом, теорема 5.3 не является достаточным условием существования локального экстремума.

ТЕОРЕМА 4 (достаточное условие существования локаль­ного экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀. Если при переходе через точку x₀ слева направо производная f'(x) меняет знак с плю­са на минус (с минуса на плюс), то в точке x₀ функция f(x) имеет локальный максимум (минимум). Если же f'(x) не ме­няет знака в δ-окрестности точки x₀, то данная функция не имеет локального экстремума в точке x₀.

Рассмотрим применение доказанных теорем на примерах нахождения точек локальных экстремумов функций.

Пример 1. Найти точки локального экстремума и интервалы монотонности функции f(x) = х³ — 7,5x² + 18x.

Решение. Сначала находим производную f'(x) = 3x² — 15x + 18. Приравнивая ее к нулю и решая уравнение х² — 5х + 6 = 0, находим две точки возможного экстремума: x₁ = 2 и x₂ = 3. Нетрудно видеть, что f'(x) при переходе через точку x₁ =2 меняет знак с "+" на "-", т.е. в этой точке имеет место локальный максимум; аналогично устанавливается, что в точке x₂ = 3 функция f'(х) имеет локальный минимум.

Найдем теперь интервалы монотонности данной функции (рис. 5.3). Поскольку f'(x) > 0 при х (- ,2), то в силу теоремы 5.2 функция монотонно возрастает на этом интер­вале; (2, 3) является интервалом монотонного убывания f(x) (f'(x) < 0), а на интервале (3, + ) функция монотонно воз­растает (f'(x) > 0).

Пример 2. Найти размеры консервной банки, имеющей форму цилиндра (радиус r и высоту h) заданного объема V, при кото­рых полная поверхность сосуда будет минимальной. Эта зада­ча имеет производственный смысл: найти оптимальные разме­ры банки, при которых затраты материала на ее изготовление будут минимальны.

Решение. Исходя из формулы объема цилиндра V = πr²h, выразим h:

Как известно, полная поверхность цилиндра дается формулой

Подставляя сюда формулу для h, получаем S как функцию от r:

Минимум этой функции найдем из условия S' (r) = 0, от­куда получаем уравнение 2r — V / π r² = 0. Из этого уравнения находим оптимальное значение r; его подставляем в формулу для h и окончательно вычисляем оптимальные размеры банки:

Например, при V = 0,33 л оптимальные размеры банки соста­вят: диаметр дна ≈ 7,5 см и высота ≈ 7,5 см.

Выпуклость и точки перегиба графика функции

Определение 2. Будем говорить, что график функции y = f(x) имеет на интервале (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой каса­тельной к графику функции на (а, b) (рис. 5.4).

Способ определения направления выпуклости графика функции дается теоремой, приведенной ниже без доказатель­ства.

ТЕОРЕМА 5. Если функция у = f(х) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f"(x) ≥ 0 (f"(x) ≤ 0) на (а, b), то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Определение 3. Точка М(x₀, f(x₀)) называется точкой пере­гиба графика функции у = f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x₀, в пре­делах которой график функции f(x) имеет разные направления выпуклости.

В точке перегиба касательная пересекает график функции, поскольку он переходит с одной стороны касательной на дру­гую, т.е. "перегибается" через нее (рис. 5.5).

ТЕОРЕМА 6. (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть график функции у = f(x) имеет перегиб в точке M(x₀, f(x₀)) и функция f(x) имеет в точке x₀ непре­рывную вторую производную. Тогда

Отметим, что не всегда условие f"(x₀) = 0 означает нали­чие точки перегиба на графике функции у = f(x). Например, график функции у = x²ⁿ (п > 1) не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя при х = 0 вторая производная равна нулю. Потому равенство (5.8) является только необходимым условием пере­гиба. Точки графика, для которых условие (5.8) выполнено, будем называть критическими. В каждой такой точке необхо­димо исследовать дополнительно вопрос о наличии перегиба; здесь имеется полная аналогия с существованием экстремума функции.

ТЕОРЕМА 7 (достаточное условие существования точки пе­региба). Пусть в некоторой окрестности точки x₀ вторая производная функции у = f(x) имеет разные знаки слева и справа от x₀. Тогда график у = f(x) имеет перегиб в точке М(x₀, f(x₀)).

Теорема верна и для случая, когда f"(x) существует в не­которой окрестности точки x₀ за исключением самой точки x₀ и существует касательная к графику функции в точке М. На­пример, функция f(x) = x^1/3 в точке х = 0 имеет бесконечные производные; в точке O(0, 0) касательная совпадает с осью Оу. Однако график этой функции имеет перегиб в начале коорди­нат, поскольку вторая производная f"(x) = -2 /(9x^5/3) имеет разные знаки слева и справа от точки х = 0 (рис. 5.6). Рас­смотрим примеры: найти точки перегиба и направления вы­пуклости графиков следующих функций.

Пример 3. f(x) = ехр (-x²).

Решение. Последовательно находим f'(x)= -2x exp(—x²), f"(x) = 2 exp (-x²)(2x² — 1). Приравнивая вторую производ­ную к нулю, получаем критические точки х = ±1/ . Вви­ду зависимости функции от х² достаточно исследовать точку x = l/ . Нетрудно видеть, что при переходе через эту точку слева направо f"(x) меняет знак с минуса на плюс. Следова­тельно, на левой ветви функции точка M₁(-1 / , e^-1/2) явля­ется точкой перегиба графика функции со сменой выпуклости вниз слева на выпуклость вверх справа (рис. 5.7). На правой ветви в точке перегиба М₂(1/ , е^-1/2) графика функции име­ет место смена выпуклости вверх слева на выпуклость вниз справа.

Пример 4. f(x) = ln (х² – 2x + 2).

РHешение. Вторая производная равна . Приравнивая ее к нулю, получаем критические точки x₁ = 0, x₂ = 2. Несложный анализ квадратного трехчлена х(2 — х), стоящего в числителе второй производной и определяющего ее знак, показывает, что точка перегиба M₁ (0, ln 2) графи­ка функции меняет выпуклость вверх слева на выпуклость вниз справа; в другой точке перегиба М₂ (2, ln2) выпуклость графика функции вниз слева меняется на выпуклость вверх справа.

Асимптоты графика функции

Часто оказывается, что график функции неограниченно приближается к некоторой прямой. Такого рода прямые назы­ваются асимптотами. Неограниченность приближения графи­ка функции к асимптоте означает, что расстояние от графика до этой прямой (перпендикуляр, опущенный из произвольной точки графика на прямую) стремится к нулю.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизон­тальные и наклонные.

Определение 4. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений f(x) или f(x) равно + или - .

Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам раз­рыва второго рода. Например, график функции у = е^1/x име­ет вертикальную асимптоту х = 0, так как f(x) при х 0+.

Определение 5. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции у = f(x) при х ± , если f(x) можно представить в виде

где α(х) 0 при х ± .

Это определение относится как к наклонной, так и к гори­зонтальной асимптотам: в случае горизонтальной асимптоты угловой коэффициент k в (5.9) равен нулю.

Укажем способ нахождения коэффициентов k и b в уравне­нии наклонной асимптоты. Разделив обе части равенства (5.9) на x и перейдя к пределу при х , получим

т.е. k = . Затемиз равенства (5.9) находим:

Рассмотрим примеры: найти асимптоты графиков функ­ций.

Пример 5. f(x) = .

Решение. Найдем вертикальную асимптоту. Точка x = -1 является точкой разрыва 2-го рода, причем

Затем находим наклонные асимптоты:

Таким образом, получаем уравнение наклонной асимптоты

Пример 6. f(x) = х + e^-x.

Решение. Вертикальных асимптот здесь нет, поскольку точки разрыва 2-го рода отсутствуют. Отыщем наклонную асимптоту:

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид

Схема исследования графика функции

Приведем схему исследования поведения функции и постро­ения ее графика.

1. Найти область определения функции.

2. Определить возможный тип симметрии функции: чет­ность или нечетность функции. Функция f(x) называется чет­ной, если выполнено условие симметрии ее графика относи­тельно оси Оу:

Функция f(x) называется нечетной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно начала координат O (0, 0):

При наличии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем ото­бразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае (5.10) (рис. 5.8,а) или с центральной симметрией в случае (5.11) (рис. 5.8,6).

3. Найти точки пересечения графика функции с осями коор­динат Ох и Оу, т.е. решить соответственно уравнения у = f(0) и f(x) = 0.

4. Найти асимптоты.

5. Найти точки возможного экстремума.

6. Найти критические точки.

7. Исследовать знаки первой и второй производных, опреде­лить участки монотонности функции, направление выпуклос­ти графика, точки экстремума и перегиба.

8. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Если областью определения функции является отрезок [а, b], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить их с локальными экстремумами.

9. Построить график функции с учетом проведенного ис­следования.

Пример 7. Исследовать и построить график функции

Решение. Действуем по приведенной выше схеме.

1. Область определения функции: х ≠ 0 или х (- , 0) (0, ).

2. Функция (5.12) является нечетной, так как f(-x) = - f(x).

3. Уравнение f(x) = 0 дает корни х = ±1 (точки пересече­ния с осью Ох). Пересечения с осью Оу нет в силу п.1.

4. Имеется вертикальная асимптота — ось Оу, так как пре­дел f(x) при х 0 бесконечен: f(x) + при х 0-, f(x) - при х 0+.

Определяем наклонную асимптоту:

Итак, уравнение наклонной асимптоты: у = х.

5. f'(x) = , т.е. производная нигде не равна нулю и точек возможного экстремума нет. В области определения везде f'(x) положительна.

6. f"(x) = —2/х³ — критических точек нет.

7. Функция (5.12) монотонно возрастает на всей области своего определения, так как ее производная всюду положитель­на. В левой координатной полуплоскости выпуклость графика функции направлена вниз (f"(x) > 0), в правой полуплоскости выпуклость направлена вверх (f"(x) < 0).

8. Наибольшего и наименьшего значений функции не су­ществует, поскольку область ее значений неограничена.

9. График функции (5.12) приведен на рис. 5.9.

Применение в экономике

Предельные показатели в микроэкономике

Приведем примеры двух предельных показателей в микро­экономике.

1. Первый из них связан с зависимостью себестоимости С произведенной продукции от ее объема Q: С = f(Q). Так называемая предельная себестоимость характеризует себестои­мость ΔC прироста продукции ΔQ:

В предположении о непрерывной зависимости ΔС от ΔQ естес­твенно напрашивается замена разностного отношения в (5.13) его пределом:

Обычно в приложениях с использованием аппарата математи­ки под предельной себестоимостью понимают именно величину (5.13а).

Например, пусть зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции выражается формулой

Определим средние и предельные издержки при объеме про­дукции Q = 15 ден. ед.

А) Функция средних издержек на единицу продукции опре­деляется по формуле = C/Q, или в нашем случае

откуда (15) = 40 - 0,03 ∙ 225 = 33,25 ден. ед.

Б) Предельные издержки определяются, согласно (5.13а), по формуле

откуда при Q = 15 получаем С' (15) = 19,75 ден. ед.

Иными словами, при средних издержках на производство единицы продукции в 33,25 ден. ед. дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции составят 19,75 ден. ед. и не превысят средних издержек.

2. В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса. Пусть D = f(Р) — функция спроса от цены товара Р (см. п. 3.1). Тогда под эластичнос­тью спроса понимается процентное изменение спроса при из­менении цены товара на один процент:

Как и в предыдущем случае, в случае непрерывной зависимос­ти ΔD от ΔQ удобно перейти к пределу при ΔР 0:

Аналогичное понятие можно ввести и для функции предло­жения S(P). Напомним, что функция D(P) убывает, а функция S(P) возрастает с ростом цены Р.

Укажем некоторые свойства эластичности. Как следует из формулы (5.14а), ее можно выразить так:

Из равенства (5.14 б) следует, что E(D) обладает свойствами логарифма, а значит,

Заметим, что поскольку функция D(P) убывающая, то D'(P) < 0, а тогда согласно формуле (5.14а) и E(D) < 0. Напротив, поскольку функция предложения возрастающая, то соответствующая эластичность E(S) > 0.

Различают три вида спроса в зависимости от величины |E(D)|:

а) если |E(D)| > 1 (E(D) < -1), то спрос считается элас­тичным;

б) если |E(D)| = 1 (E(D) = -1), то спрос нейтрален;

в) если |E(D)| < 1 (E(D) > -1), то спрос неэластичный.

Рассмотрим два примера из этой области.

Пример 1. Пусть функция спроса описывается формулой

где D₀ и k — известные величины. Найти, при каких значениях цены Р спрос будет эластичным.

Решение. Согласно формуле (5.14а) составляем выраже­ние для E(D):

Для того чтобы спрос был эластичным (случай а), необходимо, чтобы выполнялось неравенство

Пример 2. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса.

Решение. Выручка I равна произведению цены Р на товар на величину спроса D:

Найдем производную этой функции:

Теперь проанализируем все варианты эластичности спроса, приведенные выше, с учетом формулы (5.14а).

1) E(D) < -1; тогда, подставляя (5.14а) в это неравенст­во, получаем, что правая часть уравнения (5.15) отрицательна. Таким образом, при эластичном спросе повышение цены Р ве­дет к снижению выручки. Напротив, снижение цены на товар увеличивает выручку.

2) E(D) = -1. Из (5.14а) следует, что правая часть (5.15) равна нулю, т.е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку.

3) E(D) > -1. Тогда I'(P) > 0, т.е. при неэластичном спросе повышение цены Р на товар приводит к росту выручки.

Понятие эластичности распространяется и на другие обла­сти экономики. Рассмотрим один характерный пример.

Пример 3. Пусть зависимость между себестоимостью продук­ции С и объемом Q ее производства выражается формулой

Требуется определить эластичность себестоимости при выпус­ке продукции Q = 30 ден. ед.

Решение. По формуле (5.14а) получаем

откуда при Q = 30 искомая эластичность составит около —0,32, т.е. при данном объеме выпуска продукции его увеличение на 1% приведет к снижению себестоимости примерно на 0,32%.

Максимизация прибыли

Пусть Q — количество реализованного товара, R(Q) — функция дохода; C(Q) — функция затрат на производство то­вара. В реальности вид этих функций зависит в первую оче­редь от способа производства, организации инфраструктуры и т.п. Прибыль от реализации произведенного товара дается формулой

В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны. Оба упомянутых предельных показателя определяются по аналогии с (5.14а), так что этот принцип можно записать в виде R'(Q) = C'(Q). Действительно, из необходимого условия экстремума для функ­ции (5.16) следует, что П'(Q) = 0, откуда и получается основ­ной принцип.

Пример 4. Найти максимум прибыли, если доход и издержки определяются следующими формулами:

Решение. Согласно (5.16), прибыль П(Q) = - Q³ + 36Q² - 69Q — 4000. Приравнивая производную функции прибыли к нулю, получаем уравнение

Корни этого уравнения Q₁ = 1, Q₂ = 23. Проверка показы­вает, что максимальная прибыль достигается при Q = 23: П_mах = 1290.

Закон убывающей эффективности производства

Этот закон утверждает, что при увеличении одного из ос­новных факторов производства, например капитальных затрат К, прирост производства начиная с некоторого значения К яв­ляется убывающей функцией. Иными словами, объем произве­денной продукции V как функция от К описывается графиком со сменой выпуклости вниз на выпуклость вверх.

Пример 5. Пусть эта функция дается уравнением

где b и с — известные положительные числа (они определя­ются прежде всего структурой организации производства), а V_lim — предельно возможный объем выпускаемой продукции. Нетрудно подсчитать, что вторая производная функции (5.17) имеет вид

Критическая точка находится из условия V"(K) = 0, откуда

График функции (5.17) приведен на рис. 5.10. В точке пе­региба (5.18) выпуклость графика функции вниз меняется на выпуклость вверх. До этой точки увеличение капитальных за­трат приводит к интенсивному росту объема продукции: темп прироста объема продукции (аналог первой производной) воз­растает, т.е. V"(K) > 0. При К > К_cr темп прироста объема выпускаемой продукции снижается, т.е. V"(K) < 0, и эффек­тивность увеличения капитальных затрат падает.

Таким образом, в стратегии капиталовложений оказывает­ся очень важным моментом определение критического объема затрат, сверх которого дополнительные затраты будут приво­дить все к меньшей отдаче при данной структуре организа­ции производства. Зная этот прогноз, можно пытаться совер­шенствовать и менять структуру организации производства: "улучшать" показатели b, с и V_lim в сторону повышения эф­фективности капиталовложений.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти пределы с использованием правила Лопиталя.

5.1. .5.2. .

5.3. .5.4. .

5.5. .5.6. .5.7. .

5.8. .5.9. .

5.10. .5.11. .

5.12. Разложить по формуле Маклорена функцию f(x) = tg x до члена с x³ включительно.

5.13. Разложить по формуле Маклорена функцию f(x) = e^-x до члена с x² включительно.

Найти пределы с использованием разложений по формуле Мак­лорена.

5.14. . 5.15. .

5.16. .5.17. .

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графиков функций.

5.18. .5.19.

5.20. .

Найти асимптоты графиков функций.

5.21. . 5.22. .

5.23. .

Исследовать и построить графики функций.

5.24. .5.25. .

5.26. . 5.27. .

5.28. .5.29. .

5.30. . 5.31.

5.32. .5.33. .

Решите задачи на наибольшее и наименьшее значения.

5.34. Разложить число 12 на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

5.35. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V, при которых на облицовку дна и стен пойдет наименьшее количество материала.

5.36. Даны точки А(0, 3) и В(4, 5). На оси Ох найти точку, сумма расстояний от которой до точек А и В наименьшая.

Решите задачи с экономическим содержанием.

5.37. Зависимость между издержками производства С и объ­емом продукции Q выражается функцией С = 30Q — 0,08Q³. Определить средние и предельные издержки при объеме про­дукции: а) Q = 5 ед., б) Q = 10 ед.

5.38. Функции долговременного спроса D и предложения S от цены р на мировом рынке нефти имеют соответственно вид

1) Найти эластичность спроса в точке равновесной цены.

2) Как изменятся равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на рынке на 25%?

5.39. Функции спроса D и предложения S от цены р выража­ются соответственно уравнениями

Найти эластичность спроса и предложения при равновесной цене, а также изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 10%.

5.40. Зависимость объема выпуска продукции V от капиталь­ных затрат К определяется функцией V = V₀ ln (4 + K³). Найти интервал изменения К, на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.