Признаки сравнения для рядов с положительными членами.

Существуют два признака сравнения, один из них называют просто признаком сравнения, другой – предельным признаком сравнения.

Сначала рассмотрим признак сравнения. На практике он встречается довольно редко, но тем не менее рассмотрим на примере.

Признак сравнения:Пусть для членов рядов и выполнено условие: (вообще говоря, для всех начиная с какого-то номера), тогда:

а) если ряд с бОльшими членами сходится, то и ряд с меньшими членами сходится;

б) если ряд с меньшими членами расходится, то и ряд с бОльшими членами расходится.

!!! Для использования признаков сравнения понадобиться понятие «эталонных» рядов – ряд, с которым сравнивается исследуемый ряд.

Наиболее часто используемые «эталонные» ряды:

- (при он сходится, при он расходится) – обобщенный гармонический ряд;

- (при он сходится, при он расходится) – геометрический ряд.

Пример: Исследовать ряд на сходимость

Решение: Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и находим похожий ряд: Из теории известно, что он сходится. Теперь нам нужно показать, что для всех значений справедливо неравенство .

Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
….
И так далее.

Оформить решение можно так:

Сравним исследуемый ряд со сходящимся рядом . Используем признак сравнения. Для рассматриваемых рядов выполнено неравенство , значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

!!! Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную сумму : . И поскольку все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности!

Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: , , и т.д.

!!! Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является предельный признак сравнения, и по частоте использования с ним может конкурировать разве что признак Даламбера.

Предельный признак сравнения:

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

!!! Когда применяется предельный признак сравнения?Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Один или оба многочлена также могут находиться под корнем.

Пример: Исследовать ряд на сходимость

Решение: Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Почему для сравнения был выбран именно ряд ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).

!!! Примечание: когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения, в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: – это не изменило бы сути дела.

Предельный признак сравнения применим почти для всех рядов, которые мы рассмотрели в предыдущем пункте:
, , , .
Данные ряды по только что рассмотренной трафаретной схеме нужно предельно сравнить соответственно со сходящимися рядами:
, , , .

Признак сходимости Даламбера.
Радикальный признак сходимости Коши.
Интегральный признак сходимости Коши.

Одним из распространенных признаков сравнения, который встречается в практических примерах, является признак Даламбера. Признаки Коши встречаются реже, но тоже весьма популярны.