Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами

Теорема 3 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , и существует конечный предел Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , тогда:
1) ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru сходится, если Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru ,
2) ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru расходится, если Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru ,
3) если Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , то для выяснения сходимости ряда признак Даламбера не применим.

Доказательство. 1) Пусть предел Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru существует и Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Рассмотрим число q такое, что Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Из определения предела следует, что Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru существует Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru N, начиная с которого Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru
выполняется неравенство Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Таким образом, Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , т.е. Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Берём n = N, N+1, N+2,…, тогда Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , …, Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru .

Запишем исходный ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru в виде: Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Рассмотрим новый ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Этот ряд есть ряд геометрической прогрессии с Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru и Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , который сходится, а значит, сходится ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , так как Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru на основании теоремы 1. Ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru получен из исходного Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru отбрасыванием конечного числа членов Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , тогда ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru сходится (свойство 1, лекция 1, разд. 1.3). Таким образом, исходный ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru сходится, если Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Первая часть теоремы доказана.

2) Пусть Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Рассмотрим число q такое, что Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , из определения предела следует: Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru Таким образом, Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru и при Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru общий член ряда Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru не стремится к 0, т.е. ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда (теорема 1, лекция 1, разд. 1.3). Вторая часть теоремы доказана.

3) Если Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru равен единице или не существует, в этом

случае для выяснения сходимости ряда признак Даламбера не применим.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru .

Решение. Обозначим Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru ; найдём Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Составим предел Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , т.е. по признаку Даламбера ряд сходится.

Ответ: ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru сходится.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru .

Решение. Обозначим Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru ; найдём Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Составим предел

Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru ,

т.е. по признаку Даламбера ряд расходится.

Ответ: ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru расходится.

2.4. Радикальный признак Коши сходимости рядов
с положительными членами

Теорема 4 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд с положительными членами Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru и пусть существует конечный предел Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru Тогда:
1) если Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , ряд сходится,
2) если Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , ряд расходится,
3) если Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , то для выяснения сходимости ряда радикальный признак Коши не применим.

Доказательство. 1) Пусть существует Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru ; так как Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , то Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Рассмотрим число q такое, что Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Из определения предела следует, что Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru существует Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru N, начиная с которого Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru выполняется неравенство Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Распишем исходный ряд

Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . (1)
Составим новый ряд

Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . (2)

Ряд (2) представляет собой ряд геометрической прогрессии со знаменателем Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru : Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , т.е. этот ряд сходится, а значит, ряд (1) сходится по I признаку сравнения рядов (теорема 1 данной лекции).

2) Пусть существует Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Начиная с некоторого Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , т.е. Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , тогда исходный ряд расходится по необходимому признаку сходимости (теорема 1, лекция 1, разд. 1.3).
3) Если Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru (или не существует), то для выяснения сходимости ряда радикальный признак Коши не применим. Теорема доказана.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru

Решение. Обозначим Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru . Составим предел:

Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru , т.е. по радикальному признаку Коши ряд сходится.

Ответ: ряд Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами - student2.ru сходится.

Наши рекомендации