Исследование функций и построение

ГРАФИКОВ

7.1. Исследование с помощью 1 – й производной.

Признак монотонности функции

ТЕОРЕМА 1 Если функция дифференцируема на

интервале и на

, то функция не убывает (не воз –

растает) на интервале .

Доказательство. Возьмём две точки , такие что . Тогда на отрезке выполняются все условия теоремы Лагранжа, согласно которой получаем

Тогда, если на , то ; если на , то . Теорема доказана.

Точка называется точкой строгого локального макси -мума (минимума) функции , если для всех из некоторой d - окрестности точки выполняется неравенство . При . (см. рис 1)

Y y

maxx

minx

O O

(рис. 1)

Локальный максимум ( ) и локальный минимум ( ) объединяют общим названием локальный экстремум.

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие локального экстремума)

Если функция имеет в точке локаль –

ный экстремум и дифференцируема в этой

точке, то .

Доказательство. Так как в точке функция имеет ло -кальный экстремум, то существует интервал, , в котором значение является наибольшим или наимень- шим, а тогда, по теореме Ферма, в этой точке производная равна 0., т.е. .

Условие - это необходимое но не достаточное условие экстремума. Иногда точки, в которых , называют критическими точками , или точками возможного экстремума функции . В этих точках экстремум может быть или не быть, Например, если рассмотреть функцию . Её производная в точке . Но по виду графика, можем определить, что в этой точке функция не имеет экстремума. (см. рис 2)

Y

· x

ЗАМЕЧАНИЕ. Если в точке производная не су -щеествует, но сама точка входит в область определения функции , то точка также является критической точ -кой функции .

ТЕОРЕМА 3 (достаточное условие экстремума) Пусть функ-

ция дифференцируема в некоторой d - ок –

рестности критической точки , тогда, если в

этой точке производная меняет знак с на

, то в точке функция имеет локальный

минимум, а если в точке знак производной

меняется с на , то в точке функ –

ция имеет локальный максимум.

ПРИМЕРЫ. Построим графики функций при помощи производной 1-го порядка.

1. .

Эта функция определена для всех х, принимает она только положительные значения. при .

Найдём производную это1 функции:

при Это критические точки функции. Построим числовую ось

- -1 + 1 - 3 +

min max min

,

Исследование с помощью первой производной завершено. Мы выяснили, что график имеет две точки локального минимума и одну точку локального максимума. Нашли промежутки убывания и возрастания функции. Нашли точки пересечения с осями координат. Осталось построить график.

Y

2,25

-1 O 1 3 x

2. .

Эта функция определена для всех и принимает любые значения.. при Найдём её производную:

. Критическими точками являются:

не существует, . Построим числовую ось

+ 0 - + х

Найдём значения функции в критических точках ,

.

Построим график

У

О 1 х

ЗАМЕЧАНИЕ. Если в точке производная не существует, то в этой точке график функции имеет вертикальную касательную ( в случае, если точка входит в область определения)

7.2. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.

Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда существует касательная к графику этой функции в любой точке , причём эта касательная не параллельны оси , так как её угловой коэффициент, равный , конечен.

О п р е д е л е н и е 1.. Будем говорить, что график функции имеет выпуклость, направленную вниз (или вогнутость) если расположен не ниже любой своей касательной в рассматриваемом промежутке, аналогично, график имеет выпуклость, направленную вверх (или просто выпуклость) если он находится не выше любой своей касательной. (см. рис.)

У у

Вверх

Вниз

O a b x O a b x

ТЕОРЕМА 1. Если функция имеет на интервале

вторую производную и

во всех точках проме –

жутка , то график функции име –

ет на этом промежутке выпуклость, направлен –

ную вниз (вверх).

Доказательство. Требуется показать, что график функции находится не ниже (не выше) любой касательной, проведённой в произвольной точке графика функции. Запишем уравнение этой касательной, обозначив её текущую ординату через . (1)

Напишем разложение функции в окрестности точки по формуле Тейлора при

(2)

Вычитая равенство (1) из равенства (2), получим

. (3)

Тогда, если , то и график функции расположен не ниже (не выше) любой касательной.

О п р е д е л е н и е 2. Точка называется точкой перегиба функции , если в точке ,, если в этой точке график функции меняет направление выпуклости.

ТЕОРЕМА 2 (Необходимое условие выпуклости). Пусть гра-

фик функции имеет перегиб в точке

и пусть функция имеет

в точке непрерывную вторую производную.

Тогда .

Эта теорема следует из определения точки перегиба - точке перегиба меняется направление выпуклости и вторая производная меняет знак в этой точке. А так как вторая производная непрерывна в этой точке, то она обращается в ноль в токе ..

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если , то достаточным условием точки перегиба в точке является смена знака второй производной в этой точке.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. В точке перегиба касательная пересекает график функции, так как с одной стороны график функции находится выше касательной, а с другой - выше, т.е. перегибается через неё. (См. рис.)

У

M

O a b x

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если - точка максимума функции , то , если - точка минимума, то . Это ещё одно достаточное условие экстремума функции.

7.2. Асимптоты графика функции.

При исследовании поведения функции на бесконечности, т.е. при , или вблизи точек разрыва 2 – го рода часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие прямые называются асимптотами.

Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

О п р е д е л е н и е 1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

О п р е д е л е н и е 2. Прямая называется горизон- тальной асимптотой графика функции при или , если .

О п р е д е л е н и е 3. Прямая ( ) называ- ется наклонной асимптотой графика функции при , если функцию можно представить в виде , где при или .

При этом числа и , задающие уравнение наклонной асимптоты находятся по следующим формулами:

Практически целесообразно искать асимптоты в следующем порядке: 1) вертикальные асимптоты (если есть точки разрыва 2 – го рода 2) наклонные асимптоты. Горизонтальная асимптота - частный случай наклонной асимптоты при или . Горизонтальная асимптота - это частный случай наклонной асимптоты при или , в случае, если .

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если хотя бы одно из чисел либо , либо , то график функции не имеет ни наклонной ни горизонтальной асимптоты.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. график функции не может иметь больше двух наклонных асимптот.

ПРИМЕР. Найти асимптоты графика функции

и построить её график.

В область определения этой функции не входит точка . Найдём в этой точке односторонние пределы.

Следовательно, - вертикальная асимптота графика.

Найдём наклонную асимптоту: . Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение

Чтобы поточнее построить график, найдём ещё нули функции: если , то ; если , то

Пунктирными линиями на графике построим асимптоты.

У

-3 -1 О 1 х

-3

7.3. Схема полного исследования функции

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (нули функции).

3. Исследовать функцию на «чётность - нечётность». Если , то функция называется чётной и её график симметричен относительно оси Оу. Если , то функция называется нечётной и её график симметричен относительно начала координат. Если функция не является ни чётной ни нечётной, то её называют функцией общего вида.

4. Проверка периодичности функции (обычно для тригонометрических функций).

5. Найти асимптоты (вертикальные, наклонные)

6. Исследование с помощью 1-й производной (критические точки, интервалы монотонности, экстремумы).

7. Исследование с помощью 2-й производной (интервалы выпуклости, точки перегиба).

8. Построение графика.

Рассмотрим примеры.

1 Провести полное исследование и построить график функции .

1) Область определения: , т.е.

.

2). Нули функции: . в ноль обращаться не может.

3). .

следовательно функция общего вида.

4). Не периодична.

5). Асимптоты. Вертикальная асимптота возможна в точке . Найдём в этой точке односторонние пределы.

Следовательно, - вертикальная асимптота.

Найдём наклонную асимптоту.

т.е. наклонная асимптота имеет уравнение

6). Исследование с помощью 1-й производной.

Критические точки: .

Определим интервалы монотонности и точки экстремума. Пост- роим числовую ось

+ - +

1

6. Исследование с помощью 2-й производной

Построим числовую прямую

- 1 + х

Построим график

Y

4,8

-1 -0,4 O 1 2,4 x

- 0,8

2. Провести полное исследование и построить график функции .

1). Область определения этой функции: , или .

2). Нули функции:

3). и , т.е. функция общего вида.

4). Не периодична.

5). Вертикальная асимптота возможна в точке . Найдём односторонние пределы в этой точке:

В точке график имеет вертикальную асимптоту.

Найдём наклонную асимптоту в виде .

, так как степень числителя меньше степени знаменателя.

Таким образом, график имеет горизонтальную асимптоту

6). Исследование с помощью 1-й производной:

Критическая точка : при . Построим числовую прямую

+ -1 - 1 + х

7) Исследование с помощью 2-й производной:

при . Построим числовую ось:

+ -1 + 2 _ х

8). Осталось построить график

у

-1 О

1 2 х

Рассмотрим ещё один пример для случая, когда график функции имеет одностороннюю асимптоту

3. Провести полное исследование и построить график функции .

1). Область определения этой функции - вся числовая прямая.

2) Нули функции:

3). и , т.е. функция общего вида.

4).. Не периодичная.

5). Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва.

При нахождении наклонных асимптот придётся отдельно находить пределы при и , из - за свойств показательной функции.

(При вычислении второго предела мы использовали правило Лопиталя). Итак, при график имеет горизонтальную асимптоту .

Следовательно, при график асимптоты не имеет.

6).

при Если при .

Следовательно, в точке функция имеет минимум

7). Найдём вторую производную

.

при . Если и график имеет выпуклость, направленную вверх. Если и график имеет выпуклость, направленную вниз.

Построим график функции.

Y

-1 0 1 x

-1

Таким образом можно построить график любой функции.

Библиографический список.