Исследование функций и построение их графиков

Исследование функций и построение их графиков удобно выпол-нять по следующей схеме.

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Установить интервалы монотонности функции. Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках.

6. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

7. Используя результаты проведенного исследования, построить график функции. При необходимости уточнения отдельных участков кривой можно вычислить координаты нескольких дополнительных точек (в частности, координаты точек пересечения графика с осями координат).

Пример 7.4. Исследовать функцию и построить ее график.

Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точек .

Функция нечетная, так как , ее график симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно исследовать функцию для . Прямые х = –2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами, поскольку . Найдем наклонные асимптоты :

;

.

Следовательно, – наклонная асимптота.

Производная функции обращается в нуль при и .

Вторая производная

обращается в нуль при .

Составим таблицу

х		(0; 2)		(2; )		( )
		+	Не сущ.	+		–
		+	Не сущ.	–	–	–
у		­	Не сущ.	­		ǯ

Следовательно, – точка максимума, . В силу нечетности имеем: – точка минимума . Поскольку при и при , то х = 0 – абсцисса точки перегиба, 0(0;0) – точка перегиба.

Используя полученные данные, строим график функции (рис. 7.1).

Рис. 7.1

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

1 – 20. Решить системы по формулам Крамера, матричным способом и методом Гаусса.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21 – 40. Даны вершины треугольника А, В, С. Найти уравнение и длину высоты, опущенной из вершины В.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41 – 60. Найти угол (в градусах) между плоскостью и плоскостью, проходящей через точки М₁, М₂, М₃.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61 – 80. Упростить уравнение кривой и изобразить ее на рисунке.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81 – 100. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

81. а) ; б) ;

в) ; г) .

82. а) ; б) ;

в) ; г) .

83. а) ; б) ;

в) ; г) .

84. а) ; б) ;

в) ; г) .

85. а) ; б) ;

в) ; г) .

86. а) ; б) ;

в) ; г) .

87. а) ; б) ;

в) ; г) .

88. а) ; б) ;

в) ; г) .

89. а) ; б) ;

в) ; г) .

90. а) ; б) ;

в) ; г) .

91. а) ; б) ;

в) ; г) .

92. а) ; б) ;

в) ; г) .

93. а) ; б) ;

в) ; г) .

94. а) ; б) ;

в) ; г) .

95. а) ; б) ;

в) ; г) .

96. а) ; б) ;

в) ; г). .

97. а) ; б) ;

в) ; г). .

98. а) ; б) ;

в) ; г). .

99. а) ; б) ;

в) ; г). .

100. а) ; б) ;

в) ; г). .

101 – 120. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва; в условии б дополнительно построить график функции.

101. а) ; б)

102. а) ; б)

103. а) ; б)

104. а) ; б)

105. а) ; б)

106. а) ; б)

107. а) ; б)

108. а) ; б)

109. а) ; б)

110. а) ; б)

111. а) ; б)

112. а) ; б)

113. а) ; б)

114. а) ; б)

115. а) ; б)

116. а) ; б)

117. а) ; б)

118. а) ; б)

119. а) ; б)

120. а) ; б)

121 – 140. Найти производные первого и второго порядков от функ-ций, заданных параметрически:

121.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

141 – 160. Написать формулу Тейлора третьего порядка с остаточным членом в форме Лагранжа для заданной функции в точке .

141. 142.

143. 144.

145. 146.

147. 148.

149. 150.

151. 152.

153. 154.

155. 156.

157. 158.

159. 160.

161-180. Исследовать функцию и построить ее график.

161. 162. 163.

164. 165. 166.

167. 168. 169.

170. 171. 172.

173. 174. 175.

176. 177. 178.

179. 180.

Литература

1. Математика: сборник заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов инженерно-технических специальностей втузов: в 2 ч. / А.Н. Андриянчик [и др.]: – Минск: БНТУ, 2005. – Ч. 1.

2. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Р.Ф. Апатенок [и др.]. – Минск: Вышэйшая школа, 1986.

3. Гусак, А.А. Высшая математика: в 2 т. / А.А. Гусак. – Минск: Изд-во БГУ, 1978, 1983. – Т. 1, 2.

4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах:
в 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986. – Ч. 1, 2.

5. Жевняк, Р.М. Высшая математика: в 2 ч. / Р.М. Жевняк, А.А. Карпук. – Минск: Вышэйшая школа, 1984, 1985. – Ч. 1, 2.

6. Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. – М.: Наука, 1986.

7. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Наука, 1989.

8. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов: в 3 т. / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985. – Т. 1–3.

9. Сухая, Т.А. Задачи по высшей математике: учебное пособие: в 2 ч. / Т.А. Сухая. – Минск: Вышэйшая школа, 1993.

10. Высшая математика для инженеров / С.А. Минюк [и др.] / под ред. Н.А. Микулика. – Минск: Элайда, 2007. – Т. 1, 2.

11. Индивидуальные задания по высшей математике: в 4 ч. / под ред. А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2004.

С о д е р ж а н и е

В в е д е н и е. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.	ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ. . .
2.	ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.	ПРОГРАММА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	3.1.	Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	3.2.	Введение в математический анализ. . . . . . . . . . . . . . . . . .
	3.3.	Дифференциальное исчисление функций одной переменной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	3.4.	Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.	ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	4.1.	Матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	4.2.	Системы линейных уравнений. Матричный метод. Правило Крамера. Метод Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	4.3.	Скалярное произведение векторов в . . . . . . . . . . . . . . .
	4.4.	Векторное произведение векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	4.5.	Смешанное произведение векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . .
	4.6.	Прямая на плоскости. Плоскость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	4.7.	Линии второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	4.8.	Поверхности второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.	ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. . . . . . . . . . .
	5.1.	Предел числовой последовательности. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	5.2.	Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация. . . . . . . . . .
6.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	6.1.	Дифференцирование функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

	6.2.	Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	6.3.	Приложение теорем Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	6.4.	Формула Тейлора и ее приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.	ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ИХ ГРАФИКОВ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	7.1.	Исследование функций на экстремум. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты. . . . . .
	7.2.	Исследование функций и построение их графиков. . . . .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Л и т е р а т у р а. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Учебное издание

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольная работа № 1

для студентов-заочников машиностроительных специальностей

Составители:

АНДРИЯНЧИК Анатолий Николаевич

МИКУЛИК Николай Александрович

ЮРИНОК Виктор Иванович

Редактор Т.Н. Микулик

Компьютерная верстка Н.А. Школьниковой

Подписано в печать 19.02.2010.

Формат 60´84 1/16. Бумага офсетная.

Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс.

Усл. печ. л. 4,65. Уч.-изд. л. 3,64. Тираж 700. Заказ 145.

Издатель и полиграфическое исполнение:

Белорусский национальный технический университет.

ЛИ 02330/0494349 от 16.03.2009.

Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика № 1»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА