І. Исследование функций и построение графиков

Материалы к самостоятельному изучению темы

«Применение производной»

І. Исследование функций и построение графиков.

Схема исследования:

  1. Найти область определения функции: Д(у).

Определение: Д(у) – это область допустимых значений переменной Х, при которых функция имеет смысл.

  1. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы: І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .
  1. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.

Определение: Функция у = f (x) называется четной, если для любых значений х из Д(у) выполняется условие f (-x)= f (x).

Определение: Функция у = f (x) называется нечетной, если для любых значений х из Д(у) выполняется условие f (-x)= -f (x).

Определение: Функция у = f (x) называется общего вида (ни четной, ни нечетной), если для любых значений х из Д(у) f (-x)≠ -f (x) и f (-x)≠ f (x).

При построении графиков учесть, что график четной функции симметричен относительно оси ОУ, а нечетной – относительно начала координат.

Определение: Функция у = f (x) называется периодичнойс периодом Т≠0 , если для любых значений х из Д(у) выполняется условие f (x+Т)= f (x).

  1. Найти точки пересечения с осями координат (если это возможно элементарным путем):

а) с осью ОХ: у=0, вычисляем х

б)с осью ОУ: х=0, вычисляем у.

5. Найти все асимптоты графика функции.

Определение: Асимптотой графика функции у = f (x) называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении её от начала координат.

Виды асимптот:

1) горизонтальная асимптота

Пример:

       
  І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru   І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru
 

Определение: Кривая у = f (x) имеет горизонтальную асимптоту у = b только в том случае, когда существует конечный предел функции І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

Замечание: Если конечен только один из пределов І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru или І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru , то функция имеет лишь левостороннюю І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru или правостороннюю І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru горизонтальную асимптоту.

2) вертикальная асимптота

Пример:

 
  І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru

Определение: Кривая у = f (x) имеет вертикальную асимптоту І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru , если хотя бы один из пределов І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru или І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru равен бесконечности.

Замечание: 1. Вертикальные асимптоты І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru следует искать в точках разрыва функции у = f (x) или на концах ее области определения.

2. Если функция непрерывна в точке І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru , то в точке І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru вертикальных асимптот быть не может.

3) наклонные асимптоты:

Определение: Кривая у = f (x) имеет наклонную асимптоту І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru , если существуют конечные пределы: І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru

Замечание: 1.Если при вычислении k=0, то у = b – горизонтальная асимптота.

2.Следует отдельно рассматривать случаи І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

  1. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

Определение: Функция у = f (x) называется возрастающей на промежутке І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru , если для любых значений І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru и І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru из этого промежутка из неравенства І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru вытекает неравенство І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru (т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции).

Определение: Функция у = f (x) называется убывающей на промежутке І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru , если для любых значений І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru и І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru из этого промежутка из неравенства І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru вытекает неравенство І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru (т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

Возрастающая и убывающая – это строго монотонные функции.

Определение: Функция у = f (x) называется неубывающей на промежутке І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru , если для любых значений І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru и І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru из этого промежутка из неравенства І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru вытекает неравенство І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

Определение: Функция у = f (x) называется невозростающейна промежутке І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru , если для любых значений І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru и І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru из этого промежутка из неравенства І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru вытекает неравенство І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

Невозрастающая и неубывающая - это монотонные функции.

Теорема (достаточное условие возрастания функции)

Если производная функции у = f (x) положительная внутри некоторого промежутка, то в этом промежутке функция возрастает.

Теорема (достаточное условие убывания функции)

Если І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru внутри некоторого промежутка, то она убывает на этом промежутке.

Интервалы возрастания и убывания функции – это интервалы монотонности.

Экстремумы функции – это значение функции в точках экстремума.

Точки экстремума – это точки максимума и минимума.

Определение: Точка І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru называется точкой максимума функции у = f (x), если в некоторой открытости точки І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru выполняется неравенство І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

Определение:Точка І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru - называется точкой минимума функции у = f (x), если в некоторой окрестности точки І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru выполняется неравенство: І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

Теорема 1(необходимое и достаточное условие экстремума)

Для того чтобы точка І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru являлась точкой максимума необходимым и достаточным является выполнение двух условий:

  1. І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru - должна являться критической точкой (критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или совсем не существует);
  2. при переходе через точку І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru производная меняет свой знак с «+» на «–».

Теорема 2(необходимое и достаточное условие экстремума)

Для того чтобы точка І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru являлась точкой минимума необходимым и достаточным является выполнение двух условий:

1. І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru - должна являться критической точкой (критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или совсем не существует);

2. при переходе через точку І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru производная меняет свой знак с «–» на «+».

Схема нахождения интервалов возрастания, убывания и экстремумов функции.

  1. Найти І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru (х).
  2. Найти критические точки.
  3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.
  4. Сделать вывод об интервалах возрастания и убывания функции, о наличии точек экстремума и найти экстремумы функции.

Примечание:Данное задание удобно выполнять с помощью таблицы:

Пусть І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru - критические точки, причем І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru

І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru
І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru + + +
І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru - І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru
нет экстремума max min

7.Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости вверх и вниз.

Определение: В некотором интервале кривая у = f (x) называется выпуклой вверх(выпуклой), если она лежит выше касательной проведенной в любой ее точке.

Определение: В некотором интервале кривая у = f (x) называется выпуклой вниз (вогнутой), если она лежит ниже касательной проведенной в любой ее точке.

Определение: Точка перегиба - это точка на кривой, в которой меняется направление её выпуклости.

Теорема (условия перегиба)

Точка І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru - будет являться точкой перегиба, если выполняются следующие условия:

1. І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

2. При переходе через точку І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru меняет свой знак. Причем, если:

– в некотором интервале І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru , то кривая вогнута І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru ,

– в некотором интервале І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru , то кривая выпукла І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

Схема нахождения интервалов выпуклости и вогнутости:

1. Найти І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru .

2. Найти точки, в которых І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек.
Сделать вывод.

4. Найти значение функции в точках перегиба.

Таблица для выполнения 7 задания:

І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru
І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru =0 + І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru =0 +
І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru І. Исследование функций и построение графиков - student2.ru

8.Построить график функции, используя все полученные результаты исследования. При необходимости следует найти дополнительно несколько точек графика функции.

Наши рекомендации