Прямоуг. декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
Матричный метод и метод Крамера решения систем линейных уравнений.
Линейным алгебраическим уравнением называют уравнение, содержащее переменную только в первой степени и не имеющее произведений переменных. При решении систем линейных уравнений используются определители и матрицы.
Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
2.1. Метод Крамера
Введем определитель системы - и дополнительные определители:
, , .
Если определитель системы ,то система имеет единственное решение, определяемоеформулами Крамера:
, , .
Ранее рассмотренный метод Крамера можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.
Теорема Кронекера-Капелли: Для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.
Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет нулевое решение . Ненулевые решения она имеет тогда и только тогда, когда .
Метод Гаусса.
Метод Крамера можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.
Метод Гаусса: Процедура решает неоднородную систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
a11 x1+a12 x2+ . . .+a1n xn=a1n+1
a21 x1+a22 x2+ . . .+a2n xn=a2n+1
an1 x1+an2 x2+ . . .+ann xn=ann+1
Вначале находим отличный от нуля коэффициент при x1. Соответствующее уравнение переставляем с первым (если это необходимо). Получаем систему с a11 отличным от нуля. Разделив коэффициенты этого уравнения на a11, получим:
x1+b12 x2+ . . .+b1n xn=b1n+1
При помощи этого уравнения исключаем x1 из исходной системы:
a(1)22 x2+a(1)23 x3+ . . .+a(1)2n xn=a(1)2n+1 . .
a(1)n2 x2+a(1)n3 x3+ . . .+a(1)nn xn=a(1)nn+1
где a(1)i j=ai j-ai 1b1 j, i,j= 2...n
Полученная система содержит n-1 уравнение. Применяем описанную выше процедуру к этой системе. Операции повторяем требуемое число раз, пока не приведем систему к треугольному виду:
x1+с12 x2+ . . .+с1n xn=с1n+1
x2+ . . .+c2n xn=c2n+1
xn=cnn+1
Теперь легко определить xn,xn-1, . . ., x1.
Если det(A)=0, то исходная система не имеет решений и процедура выдает S=0 иначе S=1 и решения находятся в массиве X.
Координаты на прямой.
Рассмотрим прямую . Отрезок, огранич-й точками А и В, наз-ся направленным отрезком, или вектором, если указано, какая из данных точек явл. началом, а какая – концом. Направление отрезка – направление от начала к концу. Направл-й отрезок с началом в точке А и концом в точке В обознач-ся . Две различ. Точки А и В опред-т два направл. Отрезка и . Если точки А и В совпадают, отрезок АА нулевой, который не имеет опред-го направления. Величина направл-го отрезка - его длина, взятая со знаком +, когда направление этого отрезка совпадает положит. направлением оси, и со знаком -, когда совпадает с отрицат. направлением оси: АВ= -АВ.
При любом расположении точек А, В, С на оси , величины направленных отрезков , , связаны соотношением: АВ+ВС=АС, кот. называется основным тождеством. Из последнего равенства получаем АС=АВ-СВ=АВ+ВС, АВ+ВС=АС, т.е. равенство выполняется.
Прямоуг. декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
В плоскости проведём две взаимно перпенд-е координатные оси: горизонт-ю Ox (ось абсцисс) и вертик-ю Oy (ось ординат). Точку О назовём началом координат. Если Е1 и Е2 – единичные точки координатных осей, то |OE1|=|OE2|=1.
Пусть дана произвольная точка М в плоскости. Проведём через точку М прямую, паралл-ю координ-й оси Оу, точку пересечения этой прямой с осью Ох обозначим через Мх, проведём через М также прямую, паралл-ю оси Ох, до пересечения с осью Оу в точке Му.
Декартовыми прямоуг. координатами точки М на плоскости наз-ся числа, опред-е формулами: х=ОМх, у=OMy, где ОМх, ОМу – величины направленных отрезков ОМх, ОМу. Координатные оси разбивают на 4 части. Каждая из этих частей наз-ся координатной четвертью или квадрантом.