Координаты на плоскости и в пространстве
Перед тем как приступить к решению задач, ответьте на вопросы:
1. Объясните, как определяются координаты точки в пространстве.
2. Выразите расстояние между двумя точками через их координаты (считать, что точки заданы на плоскости, используйте теорему Пифагора).
3. Выведите формулы для координат середины отрезка через координаты его концов.
4. Что называется проекцией точки на оси координат, на координатные плоскости?
Основные формулы:
1. A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2)
- расстояние между точками А и В (в пространстве).
2. Пусть С – середина отрезка АВ.
- координаты середины отрезка.
Формулы координат середины отрезка применяются для вычисления длин медиан треугольника.
Примеры решения типовых задач:
1. Даны точки: А(1,2,3), В(0,1,2), С(0,0,3), Д(1,2,0). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости xy; 2) на оси z; 3) в плоскости yz ?
Решение: У точек плоскости xy координата z равна нулю. Поэтому только точка Д лежит в плоскости xy. У точек плоскости yz координата x равна нулю. Следовательно, точки В и С лежат в плоскости yz. У точек на оси z две координаты x,y равны нулю. Поэтому только точка С лежит на оси z.
2. Докажите, что четырёхугольник АВСД с вершинами в точках А(1;3;2),
В(0;2;4), С(1;1;4), Д(2;2;2) является параллелограммом.
Решение:
1 способ: докажем, что противоположные стороны равны.
АВ=СД, ВС=АД.
Найдём длины сторон параллелограмма с помощью формулы
расстояния между точками.
Доказали равенство противоположных сторон, следовательно данный
четырёхугольник – параллелограмм.
2 способ:докажем, что диагонали АС и ВД точкой пересечения делятся
пополам. Воспользуемся формулами середины отрезка и найдём
координаты середины отрезков (диагоналей) АС и ВД.
1) Координаты середины АС:
2) Координаты середины ВД:
Координаты середин отрезков одинаковы, значит отрезки
пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,
АВСД – параллелограмм.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Найдите расстояние от точки (1;2;-3) до координатных плоскостей, осей координат, начала координат (используйте понятие проекции)?
2. Докажите, что четырёхугольник АВСД – параллелограмм, если: А(0;2;-3), В(-1;1;1), С(2;-2;-1), Д(3;-1;-5).
3. Найдите координаты вершина Д параллелограмма, если известны координаты трёх его вершин: А(2;3;2), В(0;2;4), С(4;1;0).
Указания: Найдите координаты середины отрезка (диагонали) АС. Запишите формулы координат середины отрезка ВД, они будут известны, выразите из формул координаты точки Д.
Ответ: Д(6;2;-2).
4. На оси абсцисс, найдите точку С(x;0;0), равноудалённую от точек
А(1;2;3) и В(-2;1;3).
Указания: По формуле расстояния между точками, найдите АС и ВС и
Приравняйте их. Возведением в квадрат обеих частей, избавьтесь от
корней и решите уравнение относительно переменной x.
Ответ: С(0;0;0).
Дополнительные задачи:
1. Укажите уравнение, которое задаёт геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от двух точек: А(1;3) и В(3;1).
1) x+y+10=0; 2) x+y-4=0; 3)x-y=0; 4)y=2; 5)x+y=0.
2. Укажите уравнение, которое задаёт геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от двух точек: А(3;-2), В(5;6).
1)2x+y+37=0; 2)4x-y-14=0; 3)3x+y-14=0; 4)x+4y-12=0; 5)x+3y-10=0.
Указания к решению задач:
ГМТ – геометрическое место точек – множество точек, обладающих определённым свойством. Пусть т.М(x,y) – произвольная точка данного ГМТ, значит АМ=ВМ. Преобразование полученного равенства и есть ответ на вопрос задачи.
Графическая работа: «Построение точек в системе координат OXYZ».
В системе координат OXYZ постройте точки с координатами:
А(1,2,0); В(-2,0,3); С(0,0,6); Д(2,3,-4); К(6,-3,2);Х(0,-3.-4);
Н(3,-4,-2); Р(-1,-6,-5).
Рекомендации:используйте лист в клетку в горизонтальном положении или масштабно-координатную бумагу (миллиметровка).
Задачи из учебника: Л.С.Атанасян и др., Геометрия 10-11, «Посвещение», Москва ,2010: №400, 401,402,424,425,429,430,431,435.
Перед решением задач рекомендуется ознакомиться с текстом учебника: глава 5, &1, п.42,45.