Декартовы координаты. Координаты вектора, действия над векторами, заданными своими координатами.

Аффинная (декартова) система координат на плоскости задается точкой О (начало координат) и парой приложенных к ней неколлинеарных (т.е. линейно неза-висимых) векторов . Векторы называются базисными векторами (также говорят, что образуют базис). Векторы определяют две

Рис. 4. координатные оси Ох₁ и Ох₂ и являются единичными векторами этих осей (рис. 4).

Система координат обозначается через или через Ох₁х₂.

Пусть М – какая-нибудь точка плоскости; обозначим через и проекции точки М соответственно на оси координат Ох₁ и Ох₂ (рис.5). Длины векторов называются соответственно первой и второй координатой точки М.

Рис.5. Рис.6.

Любая пара чисел х₁, х₂ однозначно определяет точку М; точка М с координатами х₁, х₂ обозначается так: М(х₁, х₂ ).

Координаты произвольного вектора относительно базиса (относительно базисных векторов ) называются координатами вектора относительно системы координат ; они являются проекциями вектора на оси координат и не зависят от выбора начала координат (рис. 6). Вектор с координатами х₁, х₂ обозначается так: ; тогда

. (1)

Координаты любой точки М в данной системе координат – это координаты вектора в этой системе координат ( называют радиус-вектором точкиМ).

Два вектора и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

Если , то для координат х₁, х₂ вектора имеем

.

Афинная система координат в пространстве строится аналогично с очевидными изменениями.

Задание прямоугольной системы координат на плоскости или в пространстве прежде всего предполагает выбор одной определенной единицы длины (масштаба). После того, как масштаб выбран, прямоугольная система координат определяется (как частный случай аффинной системы) требованием, чтобы единичные координатные векторы ( на плоскости; в пространстве) были взаимно перпендикулярными ортами (векторы называются основнымиилибазисными ортами прямоугольной системы координат).

Любой вектор может быть разложен по базисным ортам на плоскости ( в пространстве) следующим образом:

. (2)

Векторы называются компонентами вектора по осям координат.

Коэффициенты разложения x, y, z являются проекциями вектора на соответствующие оси координат.

Проекции вектора на три оси координат называются координатами вектора. Обозначение: = .

Длина вектора вычисляется по формуле:

. (3)

Направление вектора определяют его направляющие косинусы:

(4)

где .

Очевидно, что . (5)

Таким образом, . (6)

Если дано несколько векторов своими координатами:

,

то координаты суммы этих векторов равны суммам одноименных координат слагаемых векторов, т.е.

. (7)

Координаты разности двух векторов равны разностям одноименных координат этих векторов, т.е. если , то

. (8)

Координаты произведения вектора на скаляр равны произведениям координат вектора на тот же скаляр:

. (9)

Условие коллинеарности двух векторов:

. (10)

Если даны две точки , то координаты точки , делящей вектор в отношении , т.е. , опреде-ляются так:

. (11)