Определение определённого интеграла

Экстремумы функции двух переменных.

Определение. - точка минимума (максимума функции z = f (x, y), если такая, что для при .

Рисунок . Необходимое условиесуществования экстремума

функции z = f (x, y) в точке :

или в точке частные производные (возможно, одна из них) не существуют.

Доказательство. Пусть - точка экстремума. Рассмотрим функцию от одной переменной х. При эта функция имеет экстремум, поэтому по Т.Ферма её производная при равна 0 или не существует.

Поэтому или не существует.

Теперь рассмотрим функцию от одной переменной y. При она имеет экстремум, поэтому её производная или не существует.

Пример. Найдём точки, в которых функция может иметь экстремумы.

Получим систему уравнений

Решение этой системы определяет точку , в которой может существовать экстремум исследуемой функции.

Неопределённый интеграл

Задача. Дана функция f ( x ). Найти функцию F ( x ) : .

Определение.ФункцияF ( x ) называется первообразной от функции f ( x) на (a, b),если

Пример. f ( x ) = 2х.

Теорема.Пусть - первообразные от f ( x ) на (a, b). Тогда на (a, b)

Доказательство (нестрогое). Рассмотрим функцию . Hа (a, b). Поэтому φ( х ) не возрастает и не убывает на (a, b) =>

.

Следствие. Если F ( x ) - одна из первообразных от f (x) , то любая первообразная от f (x) имеет вид F ( x ) + С, где .

Определение.Множество всех первообразных от функции f (x) называется неопределённым интегралом от функции f (x): если то = F ( x ) + С,

Как находить неопределённый интеграл?

I. Таблица неопределённых интегралов.

II. Свойства неопределённого интеграла.

1.

2.

3.

4.

5.

III. Общие методы интегрирования

1. Подведение под знак дифференциала

Примеры.

,

2. Замена переменной интегрирования (метод подстановки)

Примеры.

t=x+7 x=t-7 dx = dt

3. Интегрирование по частям

Пусть u (x), v(x) - дифференцируемые функции. Тогда

Доказательство.

=>

(= uv)

Пример.

Определённый интеграл

Задача определения площади S криволинейной трапеции.

Пусть f (x) непрерывна на [a, b], f (x) > 0 для Как определить S? Исходное понятие – площадь прямоугольника.

Рисунок 1.

Приблизим криволинейную трапецию ступенчатой фигурой из прямоугольников.

Для этого разобьём [a, b] на n отрезков точками

Для каждого обозначим его длину .

В каждом отрезке возьмём произвольную точку Тогда - площадь прямоугольника с основанием .

Площадь S( n ) ступенчатой фигуры, которая приближает криволинейную трапецию, равна

С возрастанием n при , ступенчатая фигура всë лучше (точнее) приближает криволинейную трапецию, поэтому

Аналогия из школьной математики: по определению площадь круга –это предел последовательности площадей вписанных в него правильных многоугольников при бесконечном удвоении числа его сторон.

Определение определённого интеграла

Пусть функция f (x) непрерывна на -разбиение отрезка [a, b] на n отрезков длины

- диаметр разбиения ,

- интегральная сумма разбиения .

Для непрерывной функции f (x) существует предел последовательности интегральных сумм при n → ∞ и

число, не функция !