Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru и Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru :

Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru

Векторы Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru и Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru . Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru плоскости единственным образом выражается в виде:
Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru , где Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru – числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru называется разложением вектора Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru по базису Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Ужин подан:

Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru

! ВСЕМ настоятельно рекомендую прочитать ВСЁ!

Начнем с первой буквы Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru алфавита: . По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru и Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru ;
2) сложение векторов по правилу треугольника: Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru .

А теперь мысленно отложите вектор Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.

Векторы Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru , Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru сонаправлен с базисным вектором Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru , вектор Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru направлен противоположно по отношению к базисному вектору Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru . У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:
Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru
Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru
А базисные векторы, к слову, так: Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru (по сути, они выражаются сами через себя).

И, наконец: Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru , Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru . Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru , Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru . Переставьте слагаемые местами и проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.

Рассмотренное разложение вида Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru иногда называют разложением векторав системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:

Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru Или со знаком равенства: Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru

Сами базисные векторы записываются так: Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru и Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru

То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.

Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя. Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru , строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru . Действительно, Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru и Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru – это ведь два разных вектора.

С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:
Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru

Перед вами ортонормированный базис Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru данного базиса попарно ортогональны: Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru и Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru . Ось Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. О том, как правильно выполнять плоские и трехмерные чертежи на клетчатой бумаге, читайте в самом начале методичкиГрафики и свойства функций.

Любой вектор Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru :
Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru , где Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru – координаты вектора Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru (числа) в данном базисе.

Пример с картинки: Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru . Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru (красная стрелка), Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru (зеленая стрелка) и Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru (малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru . Вектор суммы Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru начинается в исходной точке отправления (начало вектора Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru ) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru ).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru «останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru широко используются версии со скобками: Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru либо Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru (дотошно Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru ) – запишем Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru ;
вектор Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru (дотошно Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru ) – запишем Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru ;
вектор Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru (дотошно Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru ) – запишем Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Базисные векторы записываются следующим образом:
Координаты вектора на плоскости и в пространстве - student2.ru

Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.

А мы переходим к практической части:

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть, даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

Наши рекомендации