Раздел 3. Элементы математического анализа

Авиационный колледж ДГТУ

Рассмотрено на заседании цикловой комиссии «Математических и естественнонаучных дисциплин»   Протокол №____ от «_____»_________________2015 г. Председатель _______________ Г.В. Яковлева подпись

Вопросы к дифференцированному зачету по дисциплине

«Элементы высшей математики»

Для специальности

09.02.03 «Программирование в компьютерных системах (ФГОС)»

Курс, 2015-2016 учебный год

Й семестр

ПЕРЕЧЕНЬ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

1. Определители. Свойства определителей. Вычисление определителей по определению, разложением по элементам ряда, понижением порядка, методом Гаусса (приведением к треугольному виду).

2. Матрицы. Действия над матрицами. Определитель матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Ранг матрицы. Матрица, обратная данной матрице. Способы вычисления обратной матрицы.

3. Системы линейных алгебраических уравнений, основные методы их решения: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод.

4. Системы линейных однородных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли.

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

5. Определения вектора, длины вектора, коллинеарных векторов, сонаправленных и противоположно направленных векторов, направления вектора, равных векторов, компланарных векторов.

6. Линейные операции над векторами: сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. Линейная зависимость векторов.

7. Векторный базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора относительно данного базиса. Действия над векторами в координатах.

8. Скалярное произведение векторов, его свойства. Вычисление скалярного произведения векторов в координатах. Применение скалярного произведения векторов для решения метрических задач.

9. Векторное произведение векторов, его свойства. Вычисление векторного произведения векторов в координатах. Применение векторного произведения векторов для решения метрических задач.

10. *Смешанное произведение векторов, его свойства. Вычисление смешанного произведения векторов в координатах. Применение смешанного произведения векторов для решения метрических задач.

11. Уравнения прямой на плоскости, заданной: точкой и направляющим вектором, двумя точками, точкой и вектором нормали, точкой и угловым коэффициентом. Уравнение прямой «в отрезках». Общее уравнение прямой. Геометрический смысл коэффициентов.

12. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

13. Кривые второго порядка на плоскости. Окружность, ее уравнение.

14. Эллипс, его каноническое уравнение и свойства.

15. Гипербола, ее каноническое уравнение и свойства.

16. Парабола, ее каноническое уравнение и свойства.

Раздел 3. Элементы математического анализа

17. Числовые функции, способы их задания, основные свойства. Основные элементарные функции, их графики. Взаимно обратные функции. Преобразования графиков.

18. Числовая последовательность, ее свойства. Предел числовой последовательности, его свойства. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

19. Предел функции при , . Свойства пределов. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Правила раскрытия неопределенностей.

20. Замечательные пределы, их следствия.

21. *Правила раскрытия неопределенностей. Эквивалентные функции. Правило Лопиталя.

22. Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Непрерывность суммы, произведения и частного двух функций. Типы точек разрыва. Свойства непрерывных функций.

23. Определение производной, ее геометрический и механический смысл.

24. Непрерывность дифференцируемой функции.

25. Дифференцирование суммы, произведения, частного двух функций, сложной функции.

26. Дифференцирование неявной функции.

27. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

28. Логарифмическое дифференцирование.

29. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций.

30. Возрастающая, убывающая, постоянная, монотонная функция (определения). Необходимые условия монотонности функции. Достаточные условия монотонности функции.

31. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

32. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

33. Точка минимума, точка максимума, точка экстремума, критическая точка первого рода данной функции. Необходимое условие экстремума функции(теорема Ферма). Достаточные условия экстремума функции.

34. Наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке. Решение задач на наибольшие и наименьшие значения функции.

35. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба графика.

36. Асимптоты графика функции.

37. Исследование функций и построение графиков.

38. Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.

39. Методы вычисления неопределенных интегралов: непосредственное интегрирование, интегрирование подстановкой, интегрирование по частям.

40. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

41. Интегрирование рациональных дробей.

42. Интегрирование тригонометрических функций.

43. Интегрирование простейших иррациональных функций.

44. Определенный интеграл, его свойства.

45. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница, подстановкой и по частям.

46. Криволинейная трапеция, ее площадь. Теорема о геометрическом смысле определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

47. Несобственные интегралы.

48. Функция нескольких переменных, предел и непрерывность функции нескольких переменных (определения).

49. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.

50. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

51. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

52. Исследование функции двух переменных на экстремум.

53. Двойной интеграл, его свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Изменение порядка интегрирования.

54. Числовые ряды. Необходимое условие сходимости числового ряда. Достаточные условия сходимости числовых рядов: признаки сравнения рядов, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши.

55. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды, их абсолютная и условная сходимость.

56. Функциональные ряды. Степенные ряды. Исследование степенных рядов на сходимость.

57. Ряд Тейлора.