Раздел 1. Основы математического анализа

Федеральное государственное БЮджетное образовательное учреждение высшего образования

«тюменский ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ университет»

Институт транспорта

   
   
   
   
   
   

Методические указания

К выполнению контрольных работ

По дисциплине

«МАТЕМАТИКА»

Для студентов заочного обучения

Для специальностей: 23.02.03,08.02.01,21.02.03

Разработчик: Борисова Р.Д.

Преподаватель отделения СПО

Института транспорта

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Предисловие………………………………………………………………………… 2

Раздел 1. Основы математического анализа………………………………………. 3

Раздел 2.Основные численные методы……………………………………………. 10

Раздел 3. Элементы линейной алгебры…………………………………………….. 15

Раздел 4. Основы линейного программирования………………………………….. 20

Раздел 5. Основы теории множеств…………………………………………………. 27

Раздел 6. Элементы теории вероятности……………………………………………. 29

Рекомендуемая литература………………………………………………………….. 32

Предисловие

В настоящее время математика и ее методы широко используются при решении научно-технических проблем. Происходит математизация всех наук, математика глубоко проникает во все области деятельности современного человека. Математические методы позволяют решать проблемы планирования производства и расшифровывать древние рукописи, проверять качество проектов, прокладывать каналы и запускать космические корабли.

Математика является одной из таких наук, развитие которых служит необходимым условием ускорения научно-технического прогресса и повышения эффективности других наук.

Основная задача предмета «Математика» для средних специальных учебных заведений состоит в том, чтобы вооружить учащихся основами математических знаний, умений и навыков в объеме, необходимом для их повседневной практической деятельности, для усвоения общетехнических и специальных предметов, а также для дальнейшего повышения квалификации путем самообразования.

Раздел 1. Основы математического анализа

Тема 1.1.Функция. Предел функции.

Понятие функции важнейшее понятие математики вообще и центральное

понятие высшей математики.

Основным вопросом математического анализа является изучение зависимости между двумя или несколькими переменными при их совместном изучении.

Определение: Если в силу некоторого правила каждому значению переменной x из её области изменения соответствует одно определённое значение переменной у, то переменная у называется функция переменной х.

Область изменения аргумента х называют областью определения функции у.

Основные способы задания функции:

ü Аналитический (формула);

ü Графический;

ü Табличный .

Пусть дана функция y = f ( x ) .

Определение: Число А называется пределом функции y = f ( x ) в точке х=a, если для всех x сколько угодно мало отличающихся от a, т.е. (|x-a|<б), значение функции у сколь угодно мало отличается от числа А, т.е. (|y-A|<Е), т.е. если x→а, то Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Свойство пределов:

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Примеры:

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Функция y = f ( x ) называется непрерывной в точке х 0 , если она определенна в некоторой окрестности этой точки и если Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Тема 1.2. Производная и её приложения.

Пусть x1 и x2 – два значения аргумента, а y1=f(x1) и y2=f(x2) – соответствующие значения функции y=f(x).

Тогда разность Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru x=x2-x1 называется приращением аргумента, а разность Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru y=y2-y1= f(x2)- f(x1) приращением функции на отрезке [x1,x2]

Определение: Производной функции y=f(x) по независимой переменной х при данном значении х (в данной точке х) называется предел отношения приращения Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru y функции y к вызывавшему его приращению Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru х независимой переменной х при стремлении Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru к нулю

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Если функция f(x) имеет производную в точке х, то она называется дифференцируемой в этой точке

Физический смысл производной функции

Задача. Пусть точка движется по прямой, и закон ее движения выражается зависимостью (функцией) пути от времени S=f(t)

Пусть в момент времени t точка занимает положение А; требуется определить её скорость в этот момент времени.

Перейдем для этого к моменту t1=t+ Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru , когда точка займет положение В. Соответствующие приращение, т.е. путь, пройденный за промежуток времени Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru , выражается разностью Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru - промежуток времени, за который был пройден путь Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru , тогда Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru - средняя скорость за этот промежуток времени.

Пусть Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru , тогда Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Производная пути по времени есть скорость в любой момент времени.

Пример:

Дано: Решение:

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Найти: Vмгн

Правила и формулы дифференцирования

1) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

2) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

3) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

4) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

5) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

6) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Производная сложной функции

Пусть y=f(и), где и- функция независимой переменной х: и=φ(х).

Тогда у=f(φ(х))- сложная функция, и - промежуточный аргумент.

Теорема: Если y=f(и) и и=φ(х) дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y=f(φ(х))существуют и равна произведению производной функции у по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента и по независимой переменной х: Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

7) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru 7а) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

8) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru 8а) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

9) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru 9а) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

10) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru 10а) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

11) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru 11а) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

12) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru 12а) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

13) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru 13а) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

14) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru 14а) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
15) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru 15а) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
16) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru 16а) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
17) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru 17a) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Формулы 7а, 8а, …….. 17а для сложных функций.

Примеры:

1) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

2) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

3) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Вторая производная и производные высших порядков

Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее производной:

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Производная n-го порядка (n-я производная) от функции y=f(x) есть производная от ее

(n-1)-й производной.

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Тема 1.3. Интеграл и его приложения

Определение: Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;в), если выполняется равенство F'(x)=f(x) Например:, первообразной функции y=x2, х R, является функция F(x)= Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru , т.к. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru .Также Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru F'(x)= Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Определение: Множество всех преобразованных функций F(x)+С для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Таким образом, по определению Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru .

Основные свойства неопределенного интеграла:

1) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

2) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

3) Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Основные формулы интегрирования.


  1. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
  2. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
  3. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
  4. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
  5. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
  6. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
  7. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
  8. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
  9. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
  10. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
  11. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
  12. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
  13. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
  14. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru
  15. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Пример:

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Интегрирование способом подстановки.

Пример: Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Определенный интеграл

Приращение F(в) – F(а) любой из первообразных функций F(x)+C при изменении аргумента от х=а до х=в называется определенным интегралом и обозначается:

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Т.е. Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Для вычисления определенного интеграла Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru нужно наити соответствующий неопределенный интеграл, в полученное его выражение подставить вместо х сначала верхний, а затем нижний пределы определенного интеграла и из первого результата подстановки вычесть второй.

Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла

Нахождение площади фигуры

Площадь фигуры, ограниченный кривой y=f(x), осью Ох и двумя прямыми х=а, х=в выражается определенным интегралом.

S= Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

в
a
x
y

Пример:

Определить площадь S фигуры, заключенной между графиком функции y=x2, осью Ох и прямыми х=0, х=3.

S= Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Нахождение пути, пройденного телом

Из физического смысла производной «скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени» т.е.

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Интегрируя полученные равенство в пределах от t1 до t2, получаем

Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Пример: Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t)=10t+2(м/с).

Решение: Раздел 1. Основы математического анализа - student2.ru

Наши рекомендации