Тема: Элементы математического анализа
Изучив данную тему, студент должен знать:
1. Определение предела переменной величины. Определение предела функции.
2. Понятие бесконечно малой (б.м.) и бесконечно большой (б.б.) величины. Свойства б.м. и б.б. величин.
3. Замечательные пределы.
4. Методы вычисления пределов.
5. Понятие непрерывности функции в точке и на интервале. Свойства функций, непрерывных в точке.
6. Типы разрывов функции. Свойства функций, непрерывных на интервале.
7. Производная функции – определение. Геометрический и физический смыслы производной функции.
8. Табличные производные.
9. Правила дифференцирования.
10. Дифференциал функции. Свойства дифференциала.
11. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного инте-грала.
12. Основные табличные интегралы.
13. Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
14. Понятие определенного интеграла. Формулу Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла.
15. Геометрический смысл определенного интеграла.
16. Интеграл с переменным верхним пределом. Интегралы с бесконечными пределами.
17. Применения производной и интеграла.
18. Необходимое и достаточное условия экстремума функции. Выпуклость и вогнутость графика функции. Асимптоты.
Уметь:
19. Находить пределы.
20. Проводить дифференцирование функций.
21. Вычислять неопределенные и определенные интегралы.
22. Применять производные и интегралы в различных приложениях.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
Понятие предела является фундаментальным понятием в математическом анализе. С другой стороны, это понятие позволяет изучать поведение различных процессов и моделей как на бесконечности, так и в конкретных точках. На ряде примеров покажем основные методы вычисления пределов.
1. .
В любой задаче на пределы сначала рассматривается прямая подстановка . Если при этом получается конечное значение (в том числе и 0) или ∞, или –∞, то расчет закончен. В данном примере:
2. .
Решение:
3. .
Решение: .
4. .
Решение: .
Здесь использована теорема: величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой, т.е. 0.
5. .
Решение: .
В данном случае прямая подстановка привела к неопределенности. Попробуем упростить функцию:
.
Таким образом,
.
6. .
Решение: .
Используем разложение квадратного трехчлена на множители по извес-тной формуле: , где .
Тогда .
Следовательно,
.
7. .
Решение: .
В этом случае следует разделить числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на х3, и использовать теорему , т.е.
.
8. .
Решение: .
9. .
Вспомним первый замечательный предел . Для приведения заданного выражения к такому виду введем замену переменной: u=3x;
отсюда .
Следовательно,
Для аргумента: , т.е. или .
Таким образом,
.
10. .
Используем второй замечательный предел в форме:
.
Заменяем переменную:
, откуда и . Из следует и .
Таким образом:
.
11. .
Используем второй замечательный предел в форме: .
Заменяем переменную: , откуда . Из следует
и .
Таким образом:
.
Следующим фундаментальным понятием математического анализа является понятие производной и дифференциала функции. С другой стороны, связанные с этим понятием приращение, скорость изменения, ускорение – важные характеристики функции, позволяют делать общие выводы об изменяемости и устойчивости различных процессов и моделей.
12. Найти приращение функции у = х2 + 1, если аргумент х изменяется от 1 до 1,4.
По определению
В нашем случае f (x) = 12 + 1 = 2; f (x+∆x)=1,42+1=2,96. Следовательно, ∆у = 2,96 – 2 = 1,96.
В дальнейших примерах рассмотрим технику дифференцирования.
13. у= х2 — 5х + 4.
Дифференцируем: .
14. .
Предварительно перепишем это выражение:
.
Теперь дифференцируем:
.
15. .
Используем формулу производной от произведения. Имеем:
.
16. .
Используем формулу производной от дроби. Имеем:
.
17. у=(1+5х)3.
Это — сложная функция. Преобразуем ее в систему.
, отсюда
и .
18. .
, отсюда и .
19. .
, отсюда и
20.
, отсюда и
.
21. .
.
22. 3х + у3 – 10у2 + 6 = 0.
Используем формулу для производной от неявной функции . Тогда
, т.е. .
После простых преобразований имеем:
.
23. .
Решение: .
Учтем, что в правой части — произведение:
.
Тогда .
Отсюда, после преобразований: .
24. . Найти .
Последовательно дифференцируя, получаем:
.
Следовательно, .
25. .
Функции такого типа дифференцируются с помощью логарифмической производной .
Прологарифмируем заданное выражение:
. Тогда , т.е.
или .
После подстановки выражения для у и упрощения окончательно получим
или .
26. С помощью дифференциала вычислить , если известно, что .
Приближенная формула имеет вид:
.
В нашем случае
х=2; ∆х=0,1; . Следовательно, .
Наиболее часто встречающимися применениями дифференцирования являются раскрытие неопределенных пределов (правило Лопиталя) и иссле-дование особенностей изменяемости функций, в том числе построение графиков функций. Приведем типовые примеры по теме.
27. Вычислить .
Решение:
.
28. Вычислить .
Решение: .
29. Вычислить .
. Для раскрытия неопределенности такого типа следует предварительно преобразовать произведение в дробь.
Возможны два варианта:
или .
Только после этого можно применить правило Лопиталя. Используя первый вариант, получим:
.
30. Вычислить .
Здесь имеет место случай . Для раскрытия таких пределов удобно сначала прологарифмировать заданную функцию и затем применить правило Лопиталя. Имеем:
.
Так как ln A = 0, то А = е 0 = 1.
31. Найти экстремумы функции у=(1 – х2)3.
Найдем производную: . Стационарные точки: –6х(1 – х2)2=0, откуда х1=0; х2= –1; х3=1. Используем первое достаточное условие экстремума:
Для определения знака производной внутри интервалов проще всего выбрать произвольные удобные для вычислений точки, что и показано
на схеме.
Таким образом, заданная функция имеет один максимум в точке х = 0, возрастает при x < 0 и убывает при х > 0. Максимальное значение функции уmax = f (0) = (1 – 02)3=1.
32. Найти экстремумы функции .
Дифференцируем: . Производная, очевидно, не существует при х=0. Кроме того, она равна 0 при х=1. Следовательно, имеем две стационарные точки х1=0 и х2=1. Опять используем первое достаточное
условие:
Таким образом, заданная функция имеет максимум при х = 0 и минимум при х = 1. Соответствующие экстремальные значения: уmax=f (0)=...=1, ymin= f (1)=...= –2.
33. Найти экстремумы функции у=3 – 2х2 + х4.
Дифференцируем: .
Стационарные точки: , откуда ; .
Используем второе достаточное условие. Вторая производная: .
Таким образом:
,
т.е. является точкой максимума и
.
,
т.е. является точкой минимума и
.
,
т.е. является второй точкой минимума и
.
34. Исследовать выпуклости функции у=3х4 – 4х3.
Дифференцируем: ; .
Стационарные значения для второй производной:
36х2 – 24х=0, откуда х1=0 и х2=
Вычисляя знаки второй производной в интервалах обычным образом, заключаем, что обе точки будут точками перегибов заданной функции, причем при х < 0 и х > функция вогнутая, а при 0 < x < функция выпуклая.
Ординаты точек перегиба:
у1, пер= f (0)=...=0; у2, пер=
35. Исследовать функцию и построить ее график.
1. ОДЗ этой функции: x>0. Вертикальная асимптота: х=0.
2. Уже по ОДЗ ясно, что заданная функция – общего вида.
3. Определим точку пересечения с осью оХ: , откуда
и х = 1.
4. Дифференцируем:
5. Определим стационарные точки. Значение х=0 исключаем, как
не вошедшее в ОДЗ. Тогда: , откуда х=е.
6. Выберем второе достаточное условие.
Вторая производная: .
Тогда , т.е. точка х = е является точкой максимума,
и . Заданная функция возрастает при x < e и убывает при x > e.
7. Определим выпуклости заданной функции. Стационарные значения второй производной , откуда х = е1,5.
Таким образом, точка х=е1,5 является точкой перегиба, причем слева от нее функция выпукла, а справа – вогнута. Ордината упер=...= .
8. Проверим горизонтальную асимптоту:
следовательно, ось оХ является горизонтальной асимптотой.
Всех полученных данных достаточно для построения графика.
Интегрирование функций является обратной операцией по отношению к операции дифференцирования, т.е. восстановление функции по задан-ным ее производной или дифференциалу.
Функция F(x) называется первообразной функцией для заданной функции y = f(x) на отрезке a £ x £ y, если в каждой точке этого отрезка
ее производная равна f(x), т.е. .
Каждая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину.
Общее выражение F(x) + C для всех первообразных функций от данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается ,
где f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением.
При вычислении неопределенных интегралов необходимо использовать как стандартную таблицу, так и различные приемы упрощения
подынтегральных выражений, позволяющих свести задачу к табличным интегралам или привести к такому виду, который позволит воспользоваться справочными таблицами.
36. Вычислить .
В данном случае – приводим к табличному виду
:
.
37. Вычислить .
Здесь для приведения к табличному виду
преобразуем подынтегральное выражение к сумме двух слагаемых:
.
Во многих случаях для приведения к табличному виду можно
использовать замену переменной (подстановку).
38. Вычислить интеграл .
Здесь для применения табличной формулы необходимо преобразовать показатель степени 2x – 1. Введем подстановку: u = 2x – 1, откуда du = 2dx и .
Тогда:
.
39. Вычислить интеграл .
.
40. Вычислить интеграл .
.
(Интеграл – табличный.)
41. Вычислить интеграл .
.
42. Вычислить интеграл .
.
43. Вычислить интеграл .
Так как , то:
.
44. Вычислить интеграл .
Приведем интеграл к табличному виду
.
.
45. Вычислить интеграл .
Интегралы такого типа вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям .
.
46. Вычислить интеграл .
.
В случае, когда нужно вычислить интеграл от дроби, используется прием деления «углом». Это возможно тогда, когда степень числителя больше или равна степени знаменателя.
47. Вычислить интеграл .
| Разделим: | 2x – 1 | x+1 | , следовательно | |
| 2x + 2 | ||||
| –3 |
.
Тогда:
.
48. Вычислить интеграл .
Делим:
| x3 + 0 × x2 + x +0 | –x + 1 | ||||||||
| x3 + x2 | –x2 – x – 2 | ||||||||
| x2 + x | |||||||||
| x2 – x | |||||||||
| 2x + 0 | |||||||||
| 2x – 2 | |||||||||
Таким образом: , откуда:
.
Если знаменатель дроби разлагается на простые множители (x – xi), то для интегрирования таких дробей используется метод неопределенных коэффициентов: .
49. Вычислить интеграл .
Так как , то
.
Приведем правую часть к общему знаменателю:
.
Отбрасывая знаменатели и открывая скобки, получим
.
Чтобы два алгебраических выражения были тождественно равны, следует обеспечить равенство соответствующих коэффициентов. Получаем систему уравнений:
.
Отсюда ; и
.
Таким образом,
.
50. Вычислить интеграл .
Аналогично предыдущему примеру, имеем:
;
;
.
Соответствующая система уравнений и ее решение:
.
Таким образом,
.
Описанных выше приемов вычисления интегралов не всегда оказывается достаточно. В этом случае существенную помощь оказывают таблицы неопределенных интегралов, приведенные в ряде справочных пособий.
51. Вычислить интеграл .
Дискриминант знаменателя , поэтому разложить знаменатель на множители не удается. Здесь можно было бы использовать подстановку , но, заглянув в таблицы, находим формулу:
.
В нашем случае . После подстановки и вычислений получим:
.
52. Вычислить интеграл .
В таблицах находим общую формулу
.
В нашем примере a2 = 4, следовательно
.
Понятие определенного интеграла имеет самостоятельное значение в математическом анализе. Однако их вычисление основано на использовании формулы Ньютона-Лейбница применительно к известным первообразным.
Рассмотрим ряд примеров вычисления определенных интегралов.
53. Вычислить интеграл .
Первообразная: .
По формуле Ньютона-Лейбница:
.
Вычисление значения интеграла обычно принято записывать
цепочкой, без выделения первообразной и формулы Ньютона-Лейбница.
54.Вычислить интеграл .
.
55. Вычислить интеграл .
.
Для сокращения преобразований при замене переменной удобно сразу преобразовать верхний и нижний пределы. Это позволяет избежать обратной замены на исходную переменную в полученной первообразной
и упрощает вычисления. Так, для данного примера можно записать:
Мы получили тот же результат, без обратного перехода к радикалу .
56. Вычислить интеграл .
.
57. Вычислить интеграл .
При интегрировании по частям рекомендуется сначала полностью определить первообразную, а затем применить формулу Ньютона-Лейбница.
.
58. Вычислить интеграл .
Вычисление интеграла с переменным верхним пределом не отличается от обычной схемы. Но ответом будет не число, а функция аргумента x. Для удобства переменную интегрирования обозначим через t.
.
59. Вычислить интеграл .
Несобственные интегралы первого рода (один или оба предела интегрирования содержат бесконечность и подынтегральная функция – непрерывна) вычисляются по той же формуле Ньютона-Лейбница, но с применением теорем о бесконечно малых и бесконечно больших величинах.
.
Здесь использована известная формула или, более строго, .
60. Вычислить интеграл .
.
Здесь учтено, что . Интеграл расходится.
61. Вычислить интеграл .
Аналогично примеру 59 имеем:
.
62. Оценить значение интеграла с помощью теоремы о среднем определенного интервала.
В случае сложных подынтегральных выражений или «неберущихся» интегралов для оценки значения интеграла достаточно удобна теорема
о среднем:
.
Здесь c – точка внутри интервала интегрирования (т.е. a < c < b),
выбираемая при выполнении расчета. Для практических целей удобно
выбирать середину интервала, т.е. .
Для решения примера выберем .
Тогда:
.
Точное значение интеграла равно 1,12, т.е. погрешность составила 7%.
Заметим, что удачный выбор точки с может повысить точность
вычислений. Однако середина интервала удобнее для грубой оценки значения интеграла. При необходимости более точных вычислений следует использовать другие методы, из которых рекомендуем формулу трапеций.
63. Вычислить интеграл по формуле трапеций.
Формула трапеций имеет вид:
.
Здесь – число интервалов разбиения области интегрирования;
xi – абсцисса конца интервала, причем x0 = a и xn = b.
Точность формулы зависит от выбираемого значения n. При ответственных расчетах рекомендуется вычислить интеграл для двух различных значений n (к примеру, n = 8 и n = 12), после чего сравнить результаты. Если они близки, то расчет закончен. Существует и аналитическая формула для оценки погрешности.
Выберем для данного примера n = 5, т.е. разобьем область интегрирования на пять интервалов.
Длина интервала , следовательно :
В нашем примере . Для вычисления удобно оформить расчеты следующей таблицей:
| N | xi | Для ясности пределы интегрирования (f(a) и f(b)) отчеркнуты | |
| 0,2 | 0,9615 | ||
| 0,4 | 0,8621 | ||
| 0,6 | 0,7353 | ||
| 0,8 | 0,6098 | ||
| 0,5000 |
В соответствии с формулой трапеций:
.
Точное значение этого интеграла 0,7854, т.е. погрешность составила 0,2%.
Если повторить расчет, приняв n = 10, то приближенное значение
интеграла будет 0,7850, что отличается от точного на 0,05%. Таким образом, формула трапеций обеспечивает хорошую практическую точность вычислений и легко реализуется на компьютере.
Существуют и другие, достаточно удобные, формулы приближенного интегрирования (квадратурные формулы) – Симпсона, Гаусса и др., которые можно найти в перечисленной в конце темы литературе.
64. Найти площадь полуволны синусоиды.
Геометрический смысл определенного интеграла – площадь фигуры, образованной линией y = f(x), осью 0x и вертикальными прямыми x = a
и x = b. Отсюда следует, что общая формула площади любой фигуры,
с учетом того, что по физическому смыслу площадь S не может быть отрицательной, имеет вид:
.
При решении задач на площади рекомендуется предварительно построить эскиз вычисляемой площади. В данном случае:
Отсюда:
.
.
Следовательно, 2 квадр. ед.
65. Вычислить площадь фигуры, образованной осью 0x и линией на интервале .
Эскиз показывает, что линия пересекает ось 0x. При вычислении площади разобьем интеграл на два слагаемых, для того чтобы не допус-тить алгебраического сложения величин различных знаков. Найдем сначала точку пересечения функции с осью 0x:
Þ , (отбрасываем, так как это значение не входит
в интервал ).
Таким образом,
кв. ед.
66. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями
и .
Точки пересечения линий определятся из уравнения ,
т.е. .
Для решения задач со сложным очертанием области удобно использовать графическое разложение на сумму простейших фигур. Так, в нашем случае:
Следовательно, чтобы получить искомую площадь S, достаточно определить площадь S1 для функции и вычесть из нее площадь
S2 для функции , т.е.
кв. ед.