Элементы математического анализа
Пределы и непрерывность
Отметим некоторые теоремы о пределах, которые часто применяются для решения задач.
Если существуют конечные пределы 
и 
, то
1) 
;
2) 
;
3) 
( если 
).
Отметим еще два замечательных предела и следствия из них:
1) 
;
2) 
;
3) 
; 4) 
; 5) 
.
Задача. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
. ж) 
.
Решение. а) Если 
, то для нахождения предела частного двух многочленов достаточно разделить и числитель, и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на 
, где 
- степень многочлена, стоящего в знаменателе: 
.
б) Умножим числитель и знаменатель дроби на 
, избавившись тем самым от иррациональности в знаменателе. Итак,
.
в) Для решения этой задачи воспользуемся первым замечательным пределом:
(Так как 
при 
).
г) Для решения данной задачи воспользуемся вторым замечательным пределом:
.
Последнее равенство вытекает из того, что в квадратной скобке стоит 
, где 
.
Решения задач е, ж аналогичны решению задачи а.
Например, задача ж имеет следующее решение:
.
Производная функции
Производная функция 
от функции 
в данной точке 
определяется равенством
.
Таблица производных выглядит следующим образом:
1. 
. 2. 
.
3. 
, в частности 
.
4. 
, в частности 
.
5. 
. 9. 
.
6. 
. 10. 
.
7. 
. 11. 
.
8. 
. 12. 
.
Основные правила дифференцирования
1. 
2. 
,в частности,
3. 
,где 
Задача. Найти производные следующих функций:
а) 
; б) 
.
Решение. а) Преобразуем выражение в скобках, переходя к дробным и отрицательным показателям. Получим
.
Используя правило дифференцирования произведения и суммы находим 
=
= 
.
б) Проведем предварительное преобразование функции:
= 
.
Используя правила дифференцирования произведения, суммы и частного, получим
=
= 
.
Дифференцирование сложной функции
Если функция 
дифференцируема в точке 
, а функция 
дифференцируема в точке 
, то сложная функция 
дифференцируема в точке и
,
где индекс внизу показывает, по какой переменной берется производная.
Задача. Найти производные следующих функций:
а) 
; г) 
;
б) 
;
в) 
;
Решение. а) Функцию 
представим как композицию функций 
и 
. Используя таблицу производных, находим: 
, 
.
Тогда
.
б) Функцию 
представим как композицию функций 
,
и 
.Найдем производные по промежуточным аргументам: 
, 
и 
.
Производную сложной функции находим по формуле 
. Окончательно получим 
= 
.
Аналогично решается задача в:
=
= 
= 
.
г) Предварительно упростив выражение, определяющее функцию, до вида
,
находим производную:
.
Методические указания к выполнению
Контрольной работы № 2