Тема «1-й замечательный предел».
Задача 2. Найти предел 
.
Решение. С помощью преобразований получим в знаменателе такое же выражение, как под знаком синуса в числителе.
= 
= 
= 
= 
.
Второй предел вообще не содержит неопределённости, а первый это в точности 
если переобозначить 
.
Ответ. .
Задача 3. Найти предел 
.
Решение. = 
=
= 
=
= 24.
Сначала домножили на сопряжённое выражение, потом вынесли в отдельный множитель ту часть, где нет неопределённости. В конце домножили на 6 в знаменателе и числителе, чтобы в знаменателе образовалось ровно такое же выражение, как под знаком синуса, то есть 
.
Ответ. 24.
Задача 4. Найти предел 
.
Решение. = 
= 
= 5.
Ответ. 5.
Задача 5. Найти предел 
.
Решение.Эту задачу можно решить как с применением тригонометрической формулы, так и методом Лопиталя.
Способ 1.Вспомним формулу 
. Получается
= 
= 
= 2.
Способ 2. 
= 
= 
= 2.
Ответ. 2.
Задача 6. Найти предел 
.
Решение. Чтобы устранить разность, как всегда, домножим и поделим на сопряжённое.
= 
=
= 
=
= 
.
это мы применили формулу понижения степени, а ту часть, которая стремится к 0, вычислили сразу, этот коэффициент теперь так и будет оставаться до ответа. Теперь заменим каждую из бесконечно-малых на эквивалентную.
= 
= 
=
= 
. Ответ. .
Задача 7. Найти предел 
.
Решение. 
= 
=
= 
. Введём замену 
Тогда 
= 
= 
= 
.
Ответ. 1.
Замечание. Почему выражение 
мы здесь не домножаем на сопряжённое, а делали методом Лопиталя. Тогда получилось бы 
= 
, то есть в таких выражениях, в отличие от иррациональностей, формулу сокращённого умножения и структуру 
применять бесполезно, потому что это даёт точно такое же выражение, стремящееся к 
.
Задача 8.Найти предел 
.
Решение.
Способ 1. С помощью замены на эквивалентную бесконечно-малую.
Можно выделить 1 под знаком логарифма, получить выражение типа 
. Затем воспользоваться эквивалентностью 
= 
= 
=
= 6.
Способ 2. По правилу Лопиталя 
= 
= 6.
Ответ. 6.
Задача 9. Найти предел 
.
Решение.Методом Лопиталя 
= 
= 
. Но опять получилась неопределённость 
. Продифференцируем ещё раз 
= 
=
= 
= 
= 0,32. Ответ. .
Тема «2-й замечательный предел»
Задача 10.Найти предел 
.
Решение. Здесь неопределённость 
. Основание стремится к 1, так как здесь одинаковые старшие степени многочленов в числителе и знаменателе, и одинаковые коэффициенты при них. Как и в прошлом примере, отделим от дроби её целую часть, то есть 1. Если предел дроби равен 1, то так можно сделать.
= 
= 
= 
.
Слагаемое, которое следует после 1, стремится к 0, что и должно быть для 2 замечательного предела. Далее,
= 
=
= 
= 
= 
. Ответ. 
.
Задача 11. Найти предел 
.
Решение.Здесь целая часть 1 уже выделена. Остаётся только домножить и найти предел в степени.
= 
=
= 
= 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 12. Найти предел 
.
Решение. 
= 
=
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 13. Найти предел 
.
Решение.Здесь сначала заметим, что основание стремится к 7/7 = 1. А степень к бесконечности. То есть, неопределённость типа 
и можно использовать 2-й замечательный предел. Сначала выделяем целую часть дроби, то есть 1. Прибавим и отнимем 1, но ту, которую отняли, представим в таком виде, чтобы она объединилась с дробью.
= 
= 
=
=
= 
теперь после 1 следует бесокнечно-малая, которая обращается в 0 при 
, ведь там числитель 
. Далее, в степени домножаем обратную к этой дроби, но при этом и её саму тоже, чтобы ничего не изменилось.
= 
= 
использовали тот факт, что 
.
Далее, получаем 
=
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 14. Найти предел 
.
Решение.Заметим, что основание стремится к 1, неопределённость типа , можно использовать 2-й замечательный предел.
= 
= 
=
= 
= 
= 
=
= 
= 
. Ответ. 
.
Задача 15. Найти предел 
.
Решение. = 
= 
= 
=
= 
=
= 
=
= 
=
= 
.
Ответ. .
Домашнее задание.Найти предел 
. Ответ.2.
Домашнее задание.Найти предел 
. Ответ. 
.