Второй замечательный предел.

Второй замечательный предел. - student2.ru Построим на графике функции y = ln xсекущую MN, где M(1,0), N(1+h,ln(1+h)).Тогда tg Второй замечательный предел. - student2.ru (NMK) = ln(1+h) / h.При N®Mсекущая переходит в касательную и tg Второй замечательный предел. - student2.ru NMK ® tg 450 = =1,т.е. lim (ln(1+h)/h) = 1.Используем тождество elny = y.Тогда

lim (1+h)1/h = lim eln (1+h)/h = elim (ln(1+h)/h) = eпри h ® 0

При замене h = 1/x,где x ® ¥,получаем другую запись предела

(a) lim ln(1+x) / x = 1; (b) lim (1+x)1/x = e ; (c) lim (1+1/x)x = e

x ® 0 x ® 0 x ® ¥

Общие правила раскрытия неопределенностей

1. {0/0}При вычислении пределов дробно-рациональных функций

Второй замечательный предел. - student2.ru

используется основная теорема алгебры, т.е. многочлены представляется как произведение двучленов ( Пр. x2 + bx + c = (x – x1)(x – x2) ) и взаимно сокращаются одинаковые.

Пр. Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru

2. {¥ / ¥}Вынесем х в максимальной степени за скобки в Rn(x) , Qm(x) и сократим

Пр. Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru = {¥/¥} = Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru

3. {¥ - ¥}Проведем вычитание дробей или умножим числитель и знаменатель разности на сопряженный двучлен

Пр. Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru {¥ - ¥} = Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru

4. Второй замечательный предел. - student2.ruДля того чтобы избавится от двучленов с корнями можно умножить их на сопряженные двучлены

Пр. Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru {0/0} = Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru = Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru

5. {0 ¥}В общем случае : Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru = {0 ¥} = Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru = {0/0}

6. { Второй замечательный предел. - student2.ru }, { Второй замечательный предел. - student2.ru }, { Второй замечательный предел. - student2.ru }В случае показательно-степенной функции Второй замечательный предел. - student2.ru тип

неопределенности меняем с помощью тождества eln y= y ,т.е.

Второй замечательный предел. - student2.ru = exp( ln Второй замечательный предел. - student2.ru ) = exp( Второй замечательный предел. - student2.ru

Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru = exp( Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru ln Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru ) = eB lnA = AB

где A = Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru > 0 ; B = Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru

т.е. при переходе к пределу показательно-степенной функции основание и степень заменяются на их пределы.

Пр. Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru =AB =(3/4)1/2 ,т.к.A = Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru ;B = Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru

В случае А = 1, В = ¥используют преобразование

Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru = Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru = exp { Второй замечательный предел. - student2.ru [f(x) – 1] Второй замечательный предел. - student2.ru },

т.е. А = e , B = Второй замечательный предел. - student2.ru [f(x) – 1] Второй замечательный предел. - student2.ru

Пр. Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru = exp { Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru } = e-7 ,т.к.

А = 1, В = ¥

Непрерывность функции.

Второй замечательный предел. - student2.ru С понятием предела функции связано другое важное понятие – непрерывность функции.На графике непрерывным функциям соответствуют непрерывные линии.

Пусть y = f(x) определена в точке хo и ее окрестности. Величина Второй замечательный предел. - student2.ru х = х – хoназ. приращением аргумента, Второй замечательный предел. - student2.ru y = y – yo- соответствующим приращением функции.

Опр.1Функция y = f(x)наз. непрерывнойв точке х, если она определена в этой точке и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента Второй замечательный предел. - student2.ru хсоответствует бесконечно малое приращение функции Второй замечательный предел. - student2.ru y, т.е.

lim Второй замечательный предел. - student2.ru y = 0при Второй замечательный предел. - student2.ru х Второй замечательный предел. - student2.ru 0( 1 )

Следствие:Основные элементарные функции являются непрерывными во всех точках области определения D(f), т.к. они имеют предел в каждой из точек и удовлетворяют условию ( 1 )

y = ax , Второй замечательный предел. - student2.ru y = Второй замечательный предел. - student2.ru , lim Второй замечательный предел. - student2.ru y = Второй замечательный предел. - student2.ru lim (a Второй замечательный предел. - student2.ru - 1) = 0при Второй замечательный предел. - student2.ru х Второй замечательный предел. - student2.ru 0

y = loga x , Второй замечательный предел. - student2.ru y = loga(x + Второй замечательный предел. - student2.ru x) - loga x = loga (1 + Второй замечательный предел. - student2.ru x/x), lim Второй замечательный предел. - student2.ru y = lim loga(1 + Второй замечательный предел. - student2.ru x/x) = 0

y = x2 , Второй замечательный предел. - student2.ru y = (x + Второй замечательный предел. - student2.ru x)2 - x2 = 2x Второй замечательный предел. - student2.ru x + ( Второй замечательный предел. - student2.ru x)2 , lim Второй замечательный предел. - student2.ru y = lim [2x Второй замечательный предел. - student2.ru x + ( Второй замечательный предел. - student2.ru x)2 ] = 0

Опр.2Функция y = f(x)наз. непрерывной в точке хo ,если ее предел в хoсовпадает со значением функции в этой точке.

lim f(x) = f(xo)при x Второй замечательный предел. - student2.ru xo( 2 )

Покажем эквивалентность этих определений:

lim Второй замечательный предел. - student2.ru y = 0 Второй замечательный предел. - student2.ru lim(f(x) – f(xo)) = 0 Второй замечательный предел. - student2.ru lim f(x) = f(xo), при

Второй замечательный предел. - student2.ru x Второй замечательный предел. - student2.ru 0 x Второй замечательный предел. - student2.ru xo const x Второй замечательный предел. - student2.ru xo

Условие ( 2 ) позволяет для непрерывных функций переход к пределу функции заменить на переход к пределу аргумента

lim f(x) = f (lim x ) , при( 3 )x Второй замечательный предел. - student2.ru xo x Второй замечательный предел. - student2.ru xo

Для y = f(x) определенной на [a,b]предельный процесс около внутренней точки x(a < x < b)можно организовать двумяспособами, подходя к точке xслева или справа lim f(x) = f(xo – 0) , lim f(x) = f(xo + 0)

x Второй замечательный предел. - student2.ru xo - 0 x Второй замечательный предел. - student2.ru xo + 0

Это левосторонний и правосторонний пределы.

Опр.3Функция y = f(x)наз. непрерывной в точке хo ,если ее левосторонний и правосторонний пределы совпадаютf(xo – 0) = f(xo+ 0) = f(xo)

Опр.Функция y = f(x)наз. непрерывной на промежутке [a,b] , если она непрерывна в каждой его точке. На концах lim f(x) = f(a) , lim f(x) = f(b)

x Второй замечательный предел. - student2.ru a + 0 x Второй замечательный предел. - student2.ru b - 0

Точки разрыва.

Непрерывность функции может быть нарушена в отдельных точках. Три типа точек разрыва :

1) x0 - устранимая точка разрыва, когда f(x0 - 0) = f(x0 + 0),но в самой точке х0функция не определена;

2) x0 - точка разрыва 1 рода, когда f(x - 0) Второй замечательный предел. - student2.ru f(x + 0), но пределы конечны;

3) x0 - точка разрыва 2 рода, когда f(x - 0) Второй замечательный предел. - student2.ru f(x + 0) и пределы бесконечны;

Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru Второй замечательный предел. - student2.ru

Пр.

y = sinx/ x, x = 0 f(x) = |x| /x, x = 0 y = 1/x, x = 0

Свойства функций, непрерывных в точке .

1)Если функции g(x) и h(x) непрерывны в точке хo, то функции g(x) + h(x),

g(x) h(x), g(x)/h(x)при h(xo) Второй замечательный предел. - student2.ru 0также являются непрерывными функциями.

lim ( g(x) + h(x) ) = lim g(x) + lim h(x) = g(xo) + h(xo)

x Второй замечательный предел. - student2.ru xo x Второй замечательный предел. - student2.ru xo x Второй замечательный предел. - student2.ru xo

Для остальных функций доказательство аналогично.

2)Сложная функция, составленная из непрерывных функций, также является непрерывной.

Док-во. Пусть функция y = g(z)непрерывна в точке zo ,а z = h(x)в точке хo ,причем, zo = h(xo).По определению непрерывности lim h(x) = zo , lim g(z) = g(zo)

x – xo z – zo

Т.к. предел сложной функциипри х Второй замечательный предел. - student2.ru хoравен значению функции в точке хo

lim g( h(x) ) = lim g(z) = g(zo) = g (h(xo) )

то функция является непрерывной .

Следствие.Элементарные функции образуются из основных элементарных функций с помощью арифметических операций или являются их суперпозициями. Поскольку основные элементарные функции непрерывны, то в силу свойств 1) и 2) все составленные из них элементарные функции также непрерывны и изображаются на графиках сплошными линиями в области своего определения.



Наши рекомендации