Первый замечательный предел.

Можно показать, что справедливо соотношение, называемое первым замечательным пределом:

.

Рассмотрим на примере, как можно использовать данную формулу для разрешения особенностей тригонометрических функций в конечных точках.

Задача 2.1.в. Вычислить

.

Решение. Убедимся, что мы имеем дело с неопределенностью вида . При получаем:

Прежде всего, сделаем замену переменной , так, чтобы новая переменная стремилась к 0, когда :

Используя формулу преобразования суммы синусов в произведение и формулу для косинуса двойного угла, получаем

.

Отсюда

.

Пусть сначала , тогда . Чтобы свести полученное выражение к формуле , поделим и умножим на , а на :

Заменяя пределы дробей и на 1, получаем

При имеем , и предел отличается только знаком:

.

Второй замечательный предел.

Справедлива формула

Задача 2.1.г.Вычислить .

Решение. Выделим в основании показательной функции выражение вида , где при . Для этого прибавим и вычтем 1 из :

Получаем:

Используя формулу второго замечательного предела, заменим выражение в пределе при на :

Осталось найти предел показателя степени:

Ответ:

Комбинация первого и второго замечательных пределов.

Задача 2.1.д.Вычислить .

Решение. Убедимся сначала, что мы имеем дело с неопределенностью вида . Предел основания степени равен .Предел показателя степени равен .Неопределенность вида указывает, что для ее раскрытия следует воспользоваться вторым замечательным пределом. Выделим структуру второго замечательного предела в нашей формуле:

Теперь остается найти предел показателя степени. Делая замену переменной , получаем

Ответ: .

Особенность вида .

Задача 2.1.е.Вычислить

Решение. Чтобы свести данный предел к формуле первого замечательного предела, проведем следующее преобразование:

.

Мы воспользовались формулой

.

Поскольку

,

получаем

.

Остается сделать замену , откуда , , .

В результате получаем

Ответ: .

Производные.

Производной функции в точке называется предел

.

Наряду с обозначением для производной используется еще обозначение .

Производные основных элементарных функций приведены в следующей таблице.

Рассмотрим дифференцирование степенной функции при некоторых .

Имеется два основных приема дифференцирования функций

1) Формуладифференцирования произведения и частного двух функций

,

.

2) Формула дифференцирования композиции (или сложной функции)

.

Примеры дифференцирования сложной функции.

1^°)

2^°)

3^°)

4^°)

5^°)

6^°)

В задачах 2.2.а-2.2.з для функции требуется найти производную .

Задача 2.2.а .

.

Задача 2.2.б .

Задача 2.2.в .

Задача 2.2.г .

Задача 2.2.д .

Решение.При дифференцировании этой функции удобно воспользоваться приемом, который называется логарифмическим дифференцированием. Прежде чем вычислять производную, найдем логарифм функции :

Теперь продифференцируем правую и левую часть полученной формулы, а затем приравняем соответствующие производные. Имеем:

;

Отсюда,

Задача 2.2.е .

Решение.Здесь также удобно воспользоваться приемом логарифмического дифференцирования.

;

откуда следует, что

Задача 2.2.ж , .

Решение.Функция задана в параметрической форме, поэтому следует воспользоваться формулой для параметрической производной:

Получаем:

,

,

откуда

Задача 2.2.з .

Решение.Функция задана неявным уравнением. Чтобы найти производную , продифференцируем тождество . Получаем:

Перегруппируем слагаемые, выделяя члены, содержащие производную :

откуда следует, что