Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел

1 замечательный предел. Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru при u Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru o при x Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru o

Справедливы формулы:

1) Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru 3) Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru

2) Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru 4) Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru

При помощи 1 замечательного предела раскрывается неопределенность Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru

Пример:

1) Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru

Замечательный предел

Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru e Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru 2,7182

Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru , где Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru при Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru

Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru ,

Справедливы формулы

1) Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru 3) Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru

2) Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru называется правым пределом функции Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru в точке Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru , если для Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru такое, что для любого Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru и Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru , выполняется неравенство Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru (рис. 1). Правый предел обозначается Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru

Число Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru называется левым пределом функции Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru в точке Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru , если для Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru такое, что для любого Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru и Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru , выполняется неравенство Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru (рис. 2). Левый предел обозначается Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru

Геометрический смысл.

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru в точке Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru существует и равен Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru , если для любой Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru -окрестности точки Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru можно указать такую Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru -окрестность точки Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru , что для любого Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru из этой Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru -окрестности значение Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru будет находится в Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru -окрестности точки Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru .

Отметим, что по определению предела функции в точке для существования предела при Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru не важно, какое значение принимает функция в самой точке Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru . Можно привести примеры, когда функция не определена при Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru или принимает значение, отличное от Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru . Тем не менее, предел может быть равен Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru .

Теоремы о пределах

1. Бесконечно большие и бесконечно малые.

Функция f(x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству |x-a| < dимеет место неравенство |f(x)| > M.

limx® a

2. Функция ограниченная при x® a.

3. Функция ограниченная при x® ¥.

4. Теорема. Если limx® a f(x)=b, то функция f(x) ограниченная при x® a.

5. Бесконечно малые и их свойства. limx® a a(x)=0

Теорема. 1. Если f(x)=b+a, где a - б.м. при x® a, то limx® a f(x)=b и обратно, если limx® af(x)=b, то можно записать f(x)=b+a(x).

Теорема. 2. Если limx® a a(x)=0 и a(x) ¹ 0, то 1/a® ¥.

Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.

Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.

6. Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Теорема. 4. Если u(x) £ z(x) £ v(x), и limx® a u(x)=limx® a v(x)=b, то limx® a z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").

7. Первый замечательный предел.

Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru

при n® ¥ имеет предел, заключенный между 2 и 3.

25.Понятие предела функции на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Замечательный предел.

Определение: функция y=f(x)-называется бесконечно малой если

Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru Lim f(x)=0 или lim f(x)=0

Определение: функция y=f(x)- называется бесконечно большой если:

Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru Lim f(x)=∞ или lim f(x)=∞

1)Если f(x)- бесконечно малой, то Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru – бесконечно большой

Lim f(x)=0, то lim Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru = Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru =∞

2) Если f(x)- бесконечно большой, то Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru – бесконечно малой

Lim f(x)=∞, то lim Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru = Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru =0

Свойства пределов

Пусть lim f(x) и lim g(x) – существуют

Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru

1)lim (f(x)±g(x))=lim f(x)+lim g(x)

2)lim (f(x)·g(x))=lim f(x)·lim g(x)

3)lim Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru = Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел - student2.ru (lim g(x)≠0)

4) lim c=c (c-число)

Наши рекомендации