Первый замечательный предел

Для отыскание предела некоторых тригонометрических функций применяется правило: предел отношения синуса к своему аргументу при равен единице

.

Часто применяют формулу .

Пример. Найти

1) . 2) .

Решение. На основании приведенного выше правила имеем:

1) .

2) .

Второй замечательный предел

В случае возникновения неопределенности вида применяют второй замечательный предел:

Число широко применяют в математике. В частности, число берут в качестве основания логарифма. Такие логарифмы называют натуральными: .

Пример. Вычислить .

Решение. Чтобы вычислить этот предел с помощью второго замечательного предела необходимо сначала выделить единицу

.

2. Производная функции

Понятие производной функции

Рассмотрим функцию . На кривой (рис. 3) возьмем произвольную точку с абсциссой . Придадим приращение . Новому значению соответствует точка кривой. При этом функция получит приращение

.

Рис. 3

Отношение показывает, во сколько раз “в среднем” приращение функции больше (или меньше) приращения ее аргумента. Это отношение называют средней скоростью изменения функции на участке . Чем меньше , тем лучше средняя скорость на участке

будет характеризовать ту скорость, с которой меняется функция в точке . Поэтому за мгновенную скорость изменения функции в точке естественно принять

.

Этот предел и называется производной.

Определение.

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: .

Производная представляет собой скорость изменения функции в точке , т.е. скорость, с которой изменяется функция при переходе через точку. Таков наиболее общий смысл производной.

Геометрический смысл производной.Производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной к кривой в точке , т.е. угловому коэффициенту касательной.

В теоретическом плане подчеркнем, что существование предела, которым выражается производная, надо понимать в общем смысле существования предела функции в точке. Это означает, что должен существовать не только при , но и при , причём оба предела должны совпадать. В этом требовании и заключается условие существования производной в точке . С геометрической точки зрения это условие означает независимость предельного положения секущей от выбора точки справа или слева от точки .

Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой.

Таблица производных

Формулы дифференцирования

Если функции и дифференцируемы в точке , то в точке дифференцируемы функции , , , , и справедливы формулы:

§ ;

§ ;

§ ;

§ .