Второй замечательный предел

Второй замечательный предел - student2.ru или Второй замечательный предел - student2.ru

Вычисление предела сводится к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Если при этом получаем неопределенности типа Второй замечательный предел - student2.ru , то вычисление этого предела в этом случае называется раскрытием неопределенности.

Пример. Найти предел:

1. Второй замечательный предел - student2.ru , здесь раскрываем неопределенность типа Второй замечательный предел - student2.ru , поделив числитель и знаменатель на Второй замечательный предел - student2.ru , где n = 5 (наивысшая степень х).

2. Второй замечательный предел - student2.ru , здесь раскрыта неопределенность типа Второй замечательный предел - student2.ru , поделив числитель и знаменатель на (х-2).

3. Второй замечательный предел - student2.ru

= Второй замечательный предел - student2.ru ,здесь, раскрывая неопределенность Второй замечательный предел - student2.ru , избавились от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на сопряженный множитель Второй замечательный предел - student2.ru .

4. Второй замечательный предел - student2.ru

= Второй замечательный предел - student2.ru .

В этом примере неопределенность Второй замечательный предел - student2.ru раскрыли, используя первый замечательный предел и формулы эквивалентности.

5. Второй замечательный предел - student2.ru

Второй замечательный предел - student2.ru

в этом примере неопределенность Второй замечательный предел - student2.ru раскрывается с помощью второго замечательного предела.

Непрерывность функции

Функция называется f(x) называется непрерывной в точке х0, , если она определена в некоторой окрестности этой точки и выполняется равенство

Второй замечательный предел - student2.ru ,

где Второй замечательный предел - student2.ru , Второй замечательный предел - student2.ru односторонние (левый и правый) пределы .

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке х0 .

Когда у функции f(x) имеются односторонние пределы Второй замечательный предел - student2.ru и Второй замечательный предел - student2.ru и не все числа f(x0) , f(x0 - 0) и f(x0 + 0) равны между собой , то разрыв в точке х0 называется разрывом I рода. Величина Второй замечательный предел - student2.ru называется скачком функции.

Если Второй замечательный предел - student2.ru , то разрыв в точке называется устранимым. Здесь полагая Второй замечательный предел - student2.ru получают функцию непрерывную в точке х0.

Если хотя бы один из односторонних пределов Второй замечательный предел - student2.ru не существует или равен бесконечности, то разрыв называется разрывом II рода.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она называется непрерывной на этом промежутке.

Алгебраическая сумма, произведение и суперпозиция конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Отношение двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель не равен нулю. Отсюда следует, что всякая элементарная функция непрерывна в точках, в которых она определена.

Пример. Исследовать на непрерывность:

1. Второй замечательный предел - student2.ru имеет в точке х=2 разрыв I рода, поскольку Второй замечательный предел - student2.ru . Скачек функции в точке х=2 равен Второй замечательный предел - student2.ru

 
  Второй замечательный предел - student2.ru

.

2. Функция f(x) = Второй замечательный предел - student2.ru Второй замечательный предел - student2.ru не определена в точке х = -1, потому в этой точке она имеет разрыв. Поскольку Второй замечательный предел - student2.ru и Второй замечательный предел - student2.ru , то в точке х = -1 функция имеется разрыв II рода.

           
    Второй замечательный предел - student2.ru
 
  Второй замечательный предел - student2.ru
 
   
 

Дифференциальное исчисление.

Производная. Техника дифференцирования.

Обозначение

Производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел Второй замечательный предел - student2.ru Второй замечательный предел - student2.ru или Второй замечательный предел - student2.ru Второй замечательный предел - student2.ru , где Второй замечательный предел - student2.ru = x2 –x1 – приращение аргумента, Второй замечательный предел - student2.ru = у2 – у1 - приращение функции на отрезке [x1, x2]. Функция f(x) называется дифференцированной в точке х, если в этой точке существует производная Второй замечательный предел - student2.ru . Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) в точке х, т. е. Второй замечательный предел - student2.ru . Если функция дифференцируема в каждой точке промежутка Х, то ее называют дифференцированной на промежутке Х.

Основные правила дифференцирования.

Будем считать, что u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции, а С – постоянная. Тогда:

Второй замечательный предел - student2.ru 4. Второй замечательный предел - student2.ru

Второй замечательный предел - student2.ru 5. Второй замечательный предел - student2.ru

Второй замечательный предел - student2.ru

Наши рекомендации