Второй замечательный предел

Второй замечательный предел - student2.ru

Доказательство:

Докажем вначале теорему для случая последовательности Второй замечательный предел - student2.ru

По формуле бинома Ньютона: Второй замечательный предел - student2.ru

Полагая Второй замечательный предел - student2.ru получим Второй замечательный предел - student2.ru

Второй замечательный предел - student2.ru

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число Второй замечательный предел - student2.ru убывает, поэтому величины Второй замечательный предел - student2.ru возрастают. Поэтому последовательность Второй замечательный предел - student2.ru возрастающая, при этом Второй замечательный предел - student2.ru (2)*Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство Второй замечательный предел - student2.ru

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: Второй замечательный предел - student2.ru Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии: Второй замечательный предел - student2.ru Поэтому Второй замечательный предел - student2.ru (3)*

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом Второй замечательный предел - student2.ru выполняются неравенства (2) и (3): Второй замечательный предел - student2.ru Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность Второй замечательный предел - student2.ru монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. Второй замечательный предел - student2.ru

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что Второй замечательный предел - student2.ru . Рассмотрим два случая:

1. Пусть Второй замечательный предел - student2.ru Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: Второй замечательный предел - student2.ru ,где Второй замечательный предел - student2.ru — это целая часть x. => Второй замечательный предел - student2.ru =>

Второй замечательный предел - student2.ru

Если Второй замечательный предел - student2.ru ,то Второй замечательный предел - student2.ru Поэтому, согласно пределу Второй замечательный предел - student2.ru Имеем

Второй замечательный предел - student2.ru Второй замечательный предел - student2.ru По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов Второй замечательный предел - student2.ru

2. Пусть Второй замечательный предел - student2.ru . Сделаем подстановку − x = t, тогда

Второй замечательный предел - student2.ru

Второй замечательный предел - student2.ru Из двух этих случаев вытекает, что Второй замечательный предел - student2.ru для вещественного x.

Следствия:

Второй замечательный предел - student2.ru Второй замечательный предел - student2.ru Второй замечательный предел - student2.ru Второй замечательный предел - student2.ru

Второй замечательный предел - student2.ru Второй замечательный предел - student2.ru

9.) Сравнение бесконечно малых. Теорема о замене бесконечно малых на эквивалентные в пределе и теорема о главной части бесконечно малых.

Пусть функции a(x) и b(x) – б.м. при x ® x0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

1) a(x) называется бесконечно малой более высокого порядка чемb(x) если

Второй замечательный предел - student2.ru

Записывают: a(x) = o(b(x)) .

2) a(x) и b(x) называются бесконечно малыми одного порядка, если

Второй замечательный предел - student2.ru где СÎℝ и C ¹ 0 .

Записывают: a(x) = O(b(x)) .

3) a(x) и b(x) называются эквивалентными, если

Второй замечательный предел - student2.ru

Записывают: a(x) ~ b(x).

4) a(x) называется бесконечно малой порядка k относи-
тельно бесконечно малой b(x), если бесконечно малые a(x) и (b(x))k имеют один порядок, т.е. если

Второй замечательный предел - student2.ru где СÎℝ и C ¹ 0 .

ТЕОРЕМА 6 (о замене бесконечно малых на эквивалентные).

Пусть a(x), b(x), a1(x), b1(x) – б.м. при x ® x0. Если a(x) ~ a1(x), b(x) ~ b1(x),

то Второй замечательный предел - student2.ru

Доказательство: Пусть a(x) ~ a1(x), b(x) ~ b1(x), тогда

Второй замечательный предел - student2.ru = Второй замечательный предел - student2.ru

ТЕОРЕМА7 (о главной части бесконечно малой).

Пусть a(x) и b(x) – б.м. при x ® x0, причем b(x) – б.м. более высокого порядка чем a(x).

Второй замечательный предел - student2.ru = Второй замечательный предел - student2.ru , a так как b(x)– более высокого порядка чем a(x) ,то Второй замечательный предел - student2.ru , т.е. Второй замечательный предел - student2.ru из Второй замечательный предел - student2.ru ясно, что a(x) + b(x) ~ a(x)

10)Непрерывность функции в точке(на языке пределов эпсилон-дельта,геометрическое) Односторонняя непрерывность. Непрерывность на интервале, на отрезке. Свойства непрерывных функций.

1. Основные определения

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 .

Второй замечательный предел - student2.ru ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точкеx0 если справедливо равенство

Замечания.

Второй замечательный предел - student2.ru 1) В силу теоремы 5 §3 равенство (1) можно записать в виде

Условие (2) – определение непрерывности функции в точке на языке односторонних пределов.

Второй замечательный предел - student2.ru 2) Равенство (1) можно также записать в виде:

Говорят: «если функция непрерывна в точке x0 , то знак предела и функцию можно поменять местами».

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке e-d).

Функция f(x) называется непрерывной в точкеx0 если "e>0 $d>0 такое, что

если xÎU(x0, d) (т.е. | x – x0 | < d),

то f(x)ÎU(f(x0), e) (т.е. | f(x) – f(x0) | < e ).

Пусть x, x0 Î D( f ) (x0 – фиксированная, x – произвольная)

Обозначим: Dx = x – x0 – приращение аргумента

Df(x0) = f(x) – f(x0) – приращение функции в точкеx0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрическое).

Второй замечательный предел - student2.ru Функция f(x) называетсянепрерывной в точкеx0 если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

Пусть функция f(x) определена на промежутке [x0 ; x0 + d) (на промежутке ( x0 – d; x0] ).

Второй замечательный предел - student2.ru Второй замечательный предел - student2.ru ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется непрерывной в точкеx0 справа (слева), если справедливо равенство

Очевидно, что f(x) непрерывна в точке x0 Û f(x) непрерывна в точке x0 справа и слева.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a; b) если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a; b] если она непрерывна на интервале (a; b) и имеет одностороннюю непрерывность в граничных точках (т.е. непрерывна в точке a справа, в точке b – слева).

11)Точки разрыва, их классификация

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 , но не является непрерывной в этой точке, то f(x) называют разрывной в точке x0 , а саму точку x0 называют точкой разрыва функции f(x) .

Замечания.

1) f(x) может быть определена в неполной окрестности точки x0 .

Тогда рассматривают соответствующую одностороннюю непрерывность функции.

2) Из определения Þ точка x0 является точкой разрыва функции f(x) в двух случаях:

а) U(x0, d)ÎD(f) , но для f(x) не выполняется равенство

б) U*(x0, d)ÎD(f) .

Для элементарных функций возможен только случай б).

Пусть x0 – точка разрыва функции f(x) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x0 называется точкой разрываI рода если функция f(x) имеет в этой точке конечные пределы слева и справа.

Если при этом эти пределы равны, то точка x0 называется точкой устранимого разрыва, в противном случае – точкой скачка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x0 называется точкой разрываII рода если хотя бы один из односторонних пределов функции f(x) в этой точке равен ¥ или не существует.

12) Свойства функций, непрерывных на отрезке [a,b](теоремы Вейерштрасса(без док-ва) и Коши

Теорема Вейерштрасса

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], тогда

1)f(x)ограничена на [a,b]

2)f(x) принимает на промежутке [a,b] своё наименьшее и наибольшее значение

Определение: Значение функции m=f[x1]зовется наименьшим, если m≤f(x) для любого x€ D(f).

Значение функции m=f[x2]зовется наибольшим, если m≥f(x) для любого x€ D(f).

Наименьшее\наибольшее значение функция может принимать в нескольких точках отрезка.

Второй замечательный предел - student2.ru f(x3)=f(x4)=max

Теорема Коши.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и х – число, заключенное между f(a) и f(b),тогда существует хотя бы одна точка х0€[a,b] такая, что f(x0)= g

Доказательство:

Для определенности допустим, что f(a)<f(b)

Второй замечательный предел - student2.ru Промежуток [a,b] поделим пополам точкой с на отрезки [a,c]и [c,b]

Если f(c)= g, то х0

Если f(c)> g, то х0€ [a,c]

Если f(c)< g, то х0€ [c,b]

Если f(x)< g то поставим в соответствии точки х знак «+»

Если f(x)> g то поставим в соответствии точки х знак «-», тогда концы отрезка [a,b] имеют разные знаки Второй замечательный предел - student2.ru

После деления отрезка ab выберем ту часть отрезка, где знаки разные и обозначим его как [a1,b1], тогда f(a1)< g<f(b1) .Отрезок a1b1 разобьем пополам и выберем из двух частей отрезка тот, на левом конце которого значение меньше, чем g, а на правом - больше и обозначим как a2b2 и т.д.

Продолжая данный процесс неограниченно , получаем последовательность вложенных отрезков.

Поскольку отрезки вложены друг в друга и стягиваются, то существует х0, которое принадлежит всем отрезкам одновременно.

Докажем, что f(x0)= g :

Рассмотрим 2 последовательности : {an} –возрастающая и ограниченная; {bn} - убывающая и ограниченная, значит они имеют предел => Второй замечательный предел - student2.ru

Второй замечательный предел - student2.ru

{f(an)} {f(bn)}

f(an)< g<f(bn) ,для любого n, тогда Второй замечательный предел - student2.ru Второй замечательный предел - student2.ru Второй замечательный предел - student2.ru

с учетом того, что Второй замечательный предел - student2.ru f Второй замечательный предел - student2.ru =f(x0)

имеем: f(x0)≤ g≤f(x0), т.е. g=f(x0)

Наши рекомендации