Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Второй замечательный предел - student2.ru

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка: Второй замечательный предел - student2.ru – это иррациональное число.

В качестве параметра Второй замечательный предел - student2.ru может выступать не только переменная Второй замечательный предел - student2.ru , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 6

Найти предел Второй замечательный предел - student2.ru

Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение Второй замечательный предел - student2.ru .

Нетрудно заметить, что при Второй замечательный предел - student2.ru основание степени Второй замечательный предел - student2.ru , а показатель – Второй замечательный предел - student2.ru , то есть имеется, неопределенность вида Второй замечательный предел - student2.ru :

Второй замечательный предел - student2.ru

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр Второй замечательный предел - student2.ru , значит, в показателе нам тоже нужно организовать Второй замечательный предел - student2.ru . Для этого возводим основание в степень Второй замечательный предел - student2.ru , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень Второй замечательный предел - student2.ru :

Второй замечательный предел - student2.ru

Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:

Второй замечательный предел - student2.ru

Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву Второй замечательный предел - student2.ru :

При этом сам значок предела перемещаем в показатель.

Второй замечательный предел - student2.ru

Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.

Пример 7

Найти предел Второй замечательный предел - student2.ru

Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.

Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:

Второй замечательный предел - student2.ru

В результате получена неопределенность Второй замечательный предел - student2.ru . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида Второй замечательный предел - student2.ru . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас Второй замечательный предел - student2.ru , значит, в числителе тоже нужно организовать Второй замечательный предел - student2.ru :

Второй замечательный предел - student2.ru

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Второй замечательный предел - student2.ru

Вроде бы основание стало напоминать Второй замечательный предел - student2.ru , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:

Второй замечательный предел - student2.ru

Таким образом, основание приняло вид Второй замечательный предел - student2.ru , и, более того, появилась нужная нам неопределенность Второй замечательный предел - student2.ru . Организуем второй замечательный предел Второй замечательный предел - student2.ru .
Легко заметить, что в данном примере Второй замечательный предел - student2.ru . Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в Второй замечательный предел - student2.ru , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь Второй замечательный предел - student2.ru :

Второй замечательный предел - student2.ru

Наконец-то долгожданное Второй замечательный предел - student2.ru устроено, с чистой совестью превращаем его в букву Второй замечательный предел - student2.ru :

Второй замечательный предел - student2.ru

Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида Второй замечательный предел - student2.ru , раскрывать такую неопределенность мы научились на уроке Пределы. Примеры решений. Делим числитель и знаменатель на Второй замечательный предел - student2.ru :

Второй замечательный предел - student2.ru

Готово.

А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: Второй замечательный предел - student2.ru . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:

Второй замечательный предел - student2.ru

Пример 8

Найти предел Второй замечательный предел - student2.ru

Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела:

Второй замечательный предел - student2.ru

В результате получена знакомая неопределенность Второй замечательный предел - student2.ru . Очевидно, что в данном примере Второй замечательный предел - student2.ru . С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию Второй замечательный предел - student2.ru :

Второй замечательный предел - student2.ru

Выражение Второй замечательный предел - student2.ru со спокойной душой превращаем в букву Второй замечательный предел - student2.ru :

Второй замечательный предел - student2.ru

Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида Второй замечательный предел - student2.ru . Раскладываем тангенс на синус и косинус (ничего не напоминает?):

Второй замечательный предел - student2.ru

Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении:

Второй замечательный предел - student2.ru

А что такое Второй замечательный предел - student2.ru и к чему оно стремится, нужно уже знать, иначе «двойка»!

Как видите, в практических заданиях на вычисление пределов нередко требуется применять сразу несколько правил и приемов.

В 90-95% на зачете, экзамене Вам встретится первый замечательный предел или второй замечательный предел. Как быть, если попался «экзотический» замечательный предел? (со списком всех замечательных пределов можно ознакомиться в соответствующей методичке). Ничего страшного, практически все выкладки, приёмы решения для первого замечательного предела справедливы и для остальных замечательных пределов. Нужно решать их по аналогии.

Да, так чему же равен предел Второй замечательный предел - student2.ru ?

Если у Вас получился ответ Второй замечательный предел - student2.ru , значит в понимании высшей математики не всё так безнадежно = ).

Производные функций

Как найти производную, как взять производную?На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на страницеМатематические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.

Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная. Если Вас интересует теоретическое определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной – поищите в Интернете, информации море. Наша же задача научиться находить эти самые производные. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы, например, освоить труднее.

Наши рекомендации