Исследование функций и построение их графиков

Схема исследования функции и построения графиков:

1. Определить область существования функции.
2. Исследовать функцию на четность и нечетность.
3. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат.
4. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва функции, если они имеются; найти асимптоты кривой.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и её экстремумы.
6. Найти интервалы выпуклости вверх и вниз; определить точки перегиба.
7. Построить график функции.

Пример №15 Построить график функции: .

Решение:

1. Область существования функции

2. Функция не является ни четной ни нечетной.

3. Найдём точки пересечения с осями координат:

при

при , , т.е. кривая пересекает ось и ось O в начале координат.

4. Точка разрыва: .

Исследуем характер разрыва:

: , т.е. разрыв бесконечный 2-го рода.

Найдём асимптоты графика функции: - вертикальная асимптота; т.к. , , горизонтальных асимптот нет.

Рассмотрим

Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту .

5. Вычислим первую производную и исследуем её знаки:

, для - функция возрастает;

, для - функция убывает.

В точках и производная , но в окрестности точки она меняет знак, поэтому в точке функция имеет экстремум (максимум); в окрестности точки производная не изменяет знака, следовательно, точка не является точкой экстремума функции.

Вычислим значения: , .

В точке производная не существует, но в этой точке не существует и сама функция, поэтому не является критической точкой для производной.

1. Вычислим вторую производную и исследуем её знаки:

для - функция выпукла вверх.

для - функция выпукла вниз.

В точке , и в окрестности этой точки вторая производная изменяет знак, значит, в точки функция имеет точку перегиба.

1. Результаты исследований наносим на график.

Задания: Построить графики функций:

a) ;

b) ;

a)

Индивидуальные задания.

Задание1

Вычислить предел:

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

25. ; 26. ;

Задание 2

Вычислить предел:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

21. 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

Задание 3.

Вычислить пределы:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

Задание 4.

Вычислить предел:

1. ; 2. ;

2. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12 ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

Задание 5

Вычислить придел

1 2

3 4 ;

5 6

7 8

9 10

11 12 ;

13 14

15 16

17 18

19 20

21 22

23 24

25 26

27 28

29 30

Задание 6.

Найти производную функций:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. 10. ;

11. ; 12. ;

13. . 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

Задание 7.

Найти производную функции:

1. ; 2. ;

3. ; 3. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

Задание 8.

Найти производную функции:

1. ; 2. ;

4. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28.

29. ; 30. ;

Задание 9.

Провести полное исследование функции и построить ее график.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12.;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

Задание 10.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [a;b]:

1. ; [-2;0]; 2. ; [-2;1];

3. ; [0;3]; 4. ; [2;2];

5. ; ; 6. ; [1;3];

7. ; [-3;-1]; 8. ; [-1;2];

9. ; ; 10. ; [-4;0];

11. ; [0;3]; 12. ; [ ;0];

13. ; [0;5]; 14. ; [-2;2];

15. ; [-1; ]; 16. ; [-1;1];

17. ; [1;2] 18. ; [-2;2];

19. ; [0;1]; 20. ; [1;2];

21. ; [-4;2] 22. ; [-4;-1];

23. ; [-2;1]; 24. ; [-5;1];

25. ; [1;5] ; 26. ; [-2;1];

27. ; [ ;2]; 28. ; [-1;2];

29. ; [-2;- ]; 30. ; [0;3];

Задание 11.

Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

1. ; x=0,998; 2. ; x=1,03;

3. ; x=2,01; 4. ; x=8,24;

5. ; x=1,996; 6. ; x=7,64;

7. ; x=2,56; 8. ; x=1,016;

9. ; x=8,36; 10. ; x=4,16;

11 ; x=1,012; 12. ; x=7,76;

13. ; x=0,98; 14. ; x=0,08;

15. ; x=0,97; 16. ; x=1,97;

17. ; x=1,021; 18. ; x=26,46;

19. ; x=1,012; 20. ; x=1,21;

21. ; x=27,54; 22. ; x=2,01;

23. ; x=2,002; 24. ; x=1,78;

25. ; x=3,998; 26. ; x=2,997;

27. ; x=0,98; 28. ; x=0,01;

29. ; x=0,01; 30. ; x=1,02.