Исследование функций и построение графиков. Исследование функций можно проводить по следующей схеме:
Исследование функций можно проводить по следующей схеме:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность и нечетность.
3. Найти асимптоты графика функции.
4. Найти интервалы возрастания и убывания функции, её экстремумы.
5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
6. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно).
7. Построить график.
Иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из конкретных особенностей данной функции.
Пример 1. Построить график функции
Решение.
1. Область определения функции .
2. Функция ни четная, ни нечетная.
3. Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва .
Так как ,
то прямая является вертикальной асимптотой.
Для нахождения наклонных асимптот, вычисляем:
Таким образом, прямая наклонная асимптота. Горизонтальных асимптот нет
4. Вычислим производную
Очевидно, что при и . Кроме того, не существует при , но эта точка не принадлежит области определения функции, следовательно, точка не может быть точкой экстремума.
Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: .
Следовательно, функция возрастает на интервалах и убывает на интервале .
В точке функция имеет максимум. Так как при переходе через критическую точку производная знака не меняет, то в этой точке экстремума нет.
Имеем, .
5. Находим вторую производную
.
при и не существует при .
Определяем знак второй производной в каждом из интервалов .
График функции выпуклый на интервалах и вогнутый на интервале .
Точка с абсциссой - точка перегиба, так как при переходе через нее вторая производная меняет знак с минуса на плюс, а график функции изменяет выпуклость на вогнутость.
Имеем , следовательно, точка является точкой перегиба.
6. Для нахождения точек пересечения графика функции с осями координат полагаем , получаем . Затем полагаем , откуда или .
Последнее равенство возможно при , т.е. при . Других действительных значений, при которых нет, так как для равенства имеем дискриминант
.
Таким образом, имеем две точки пересечения графика функции с осями координат: и .
7. Построим график данной функции.
РАЗДЕЛ 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Неопределенный интеграл.
Пусть функция определена на некотором промежутке . Тогда функция называется первообразной для функции на промежутке , если для всех .
Если функция является первообразной функции на промежутке , то множество всех первообразных для задается формулой , где - некоторое постоянное число.
Совокупность всех первообразных для функции , определенных на некотором промежутке , называется неопределенным интегралом от функции на этом промежутке и обозначается символом .
Если является первообразной для функции на промежутке Х, то
Функция называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, символ - знаком неопределенного интеграла, С – постоянной интегрирования.
Назовем график какой-либо первообразной функции интегральной кривой.
Тогда геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из любой другой кривой параллельным переносом вдоль оси Оу.