Производные высших порядков
I Определение и обозначения
Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то её производная сама является функцией, определенной на этом промежутке. Следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Если она существует, то её называют второй производной (или производной 2го порядка), и обозначают одним из символов
.
Аналогично, если существует производная от второй производной, то её называют третьей производной и обозначают, например, .
Вообще, производной n-го порядка называют производную от производной (n–1)-го порядка и обозначают . Итак, по определению
.
II Производные некоторых функций
1. y=sinx, y=cosx
Первые производные этих функций и формулы приведения позволяют методом математической индукции получить выражения для производных n-го порядка:
.
2. y=xa
Если , то, последовательно дифференцируя, получим , , и вообще:
.
Если же показатель степени натуральный, то:
3. y=ax
, в частности, , .
4. y=lnx
,
.