Производные высших порядков

I Определение и обозначения

Если функция Производные высших порядков - student2.ru дифференцируема на некотором промежутке, то её производная Производные высших порядков - student2.ru сама является функцией, определенной на этом промежутке. Следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Если она существует, то её называют второй производной (или производной 2го порядка), и обозначают одним из символов

Производные высших порядков - student2.ru .

Аналогично, если существует производная от второй производной, то её называют третьей производной и обозначают, например, Производные высших порядков - student2.ru .

Вообще, производной n-го порядка называют производную от производной (n–1)-го порядка и обозначают Производные высших порядков - student2.ru . Итак, по определению

Производные высших порядков - student2.ru .

II Производные некоторых функций

1. y=sinx, y=cosx

Первые производные этих функций Производные высших порядков - student2.ru и формулы приведения Производные высших порядков - student2.ru позволяют методом математической индукции получить выражения для производных n-го порядка:

Производные высших порядков - student2.ru .

2. y=xa

Если Производные высших порядков - student2.ru , то, последовательно дифференцируя, получим Производные высших порядков - student2.ru , Производные высших порядков - student2.ru , и вообще:

Производные высших порядков - student2.ru .

Если же показатель степени натуральный, то:

Производные высших порядков - student2.ru

3. y=ax

Производные высших порядков - student2.ru , в частности, Производные высших порядков - student2.ru , Производные высших порядков - student2.ru .

4. y=lnx

Производные высших порядков - student2.ru ,

Производные высших порядков - student2.ru .

Наши рекомендации