Производные высших порядков

Пусть функция дифференцируема на . , вообще говоря, зависит от , то есть – функция. Дифференцируя эту функцию, получаем так называемую вторую производную от . Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной

, .

Пример. Найти производную второго порядка функции .

Решение.

, .

Производной от второй производной называется производная третьего порядка или третья производная .

Вообще, производной -го порядка от функции называется производная первого порядка от ( )-го порядка

,

.

Обозначается в римских цифрах.

Пример 1. Найти выражение производной любого порядка функции , где .

Решение.

.

Пример 2. Найти производную -го порядка функции .

Решение.

,

.

Выведем формулу Лейбница, дающую возможность вычислять производную -го порядка от произведения .

,

,

,

,

.

надо разложить по биному Ньютона и в полученном разложении заменить показатели степени и указателями порядка производных, причем нулевые степени ( ), входящие в крайние члены разложения надо заменить самими и , то есть производными нулевого порядка.

,

данное выражение носит название формула Лейбница.