Производные высших порядков

Производная функции есть также функция от x и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производ-ной второго порядкаи обозначается: или . Итак,

.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается: или . Итак,

.

Производная n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной порядка:

. (16.7.)

Производная порядка выше первого называются производными высших порядков. Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначаются римскими цифрами или числами в скобках, например, или – производная пятого порядка.

Пример 16.10. Найти значение производной 4-го порядка для функции при .

Решение. Находим последовательно

;

;

;

.

Следовательно, . ,

Пример 16.11. Найти производную n-го порядка для функции .

Решение. Находим последовательно

;

;

;

;

…………………….

.

,

Отметим, что в формуле (16.7.) принято , т.е. производная нуле-вого порядка есть сама функция.

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону . Как известно, производная первого порядка .

Механический смысл производной второго порядка: вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения материальной точки, т.е. .

Пусть функция задана неявно в виде уравнения .

Продифференцировав это уравнение по x и разрешив полученное уравнение отно-сительно , найдем производную первого порядка. Продифференцировав по x первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут x, y и . Подставляя уже найденное значение в выражение второй производной, выразим через x и y.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и выше) порядка.

Пример 16.12. Найти производную второго порядка функции, заданной уравне-нием в точке .

Решение. Находим производную первого порядка:

Þ .

Используя равенство , дифференцируем обе его части, считая y функцией по x. Получаем

;

.

Отсюда

.

Следовательно, .

,

Пусть функция задана параметрическими уравнениями

.

Как известно, первая производная находится по формуле .

Найдем вторую производную от функции, заданной параметрически.

Из определения второй производной и равенства (16.6.) следует, что

,

т.е.

. (16.8.)

Эту формулу можно преобразовать и получить следующую формулу

.

Итак,

. (16.9.)

Аналогично получаем

, , и т.д.

Пример 16.13 Найти вторую производную функции

.

Решение. Находим производные и :

;

.

Далее

.

Используя формулу (16.8.), получаем

. ,

Дифференциал функции

Пусть дана функция , определенная на множестве X, и в точке имеет отличную от нуля производную, т.е. . Тогда по теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф., можно записать , где при , или .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух сла-гаемых и , являющиеся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , так как , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высо-кого порядка, чем , так как .

Слагаемой называют главной частью приращения функции .

Определение 16.2. Дифференциалом функции в точке x называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ):

. (16.10.)

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной x, т.е. дифференциал функции . Так как , то согласно формуле (16.10.), имеем , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: . Поэтому формулу (16.10.) можно записать так:

, (16.11.)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (16.11.) следует равенство . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .

Пример 16.14. Найти дифференциал функции

а) в общем виде;

б) в точке ;

в) при и .

Решение. Находим производную первого порядка:

.

а) Используя формулу (16.11.), получаем

.

б) Дифференциал функции в точке равен

.

в) При и получаем:

.

,

Выясним геометрический смысл дифференциала функции.

Проведем к графику функции в точке касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки . На рисунке , . Из прямоугольного треугольника имеем:

, т.е. .

Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому .

Сравнивая полученный результат с формулой (16.10.), получаем .

Геометрический смысл: дифференциал функции в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение .

Правила вычисления дифференциала аналогичны соответствующим правилам нахождения производной.

Инвариантность формы записи дифференциала

Пусть для , тогда

.

Рассмотрим сложную функцию , где , причем и дифференцируемы соответственно в точках x и . Тогда , но следовательно, . А так как , то

.

Таким образом, форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариант-ностью (неизменностью) формы записи дифференциала.

Заметим, что из инвариантности следует, что, хотя (x – незави-симая переменная), а ( – функция), запись их одинакова. Однако сущность этих формул различна: задается произвольно, же задавать произвольно, вообще говоря, нельзя; нужно вычислить по формуле дифференциала . Это относится и к случаю с несколькими промежуточными функциями.