Исследование функций и построение графиков
Общее исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме:
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения с осями координат.
3. Выяснить, не является ли функция четной или нечетной, периодической или непериодической.
3.Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции
в этих точках. Установить интервалы монотонности функции.
4. Найти точки перегиба графика функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.
6. Найти асимптоты графика функции.
7. Используя результаты исследований, построить график функции.
Задача 4. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение: 1. Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точек , в которых функция не существует. Итак,
.
2. Найдем точки пересечения с осями координат.
а) с осью ОХ:
.
Следовательно, точка пересечения с осью ОХ - ;
б) с осью ОY:
,
следовательно, точка пересечения с осью ОY - .
3. Функция нечетная, так как (при замене
на
она меняет знак на противоположный, поэтому график ее будет симметричен относительно начала координат). Функция непериодическая.
4. С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции.
Имеем
.
Решим уравнение , т.е.
.
Точки ,
,
будут подозрительными на экстремум. Точки
, в которых производная не существует, но в этих точках не существует и функция. Разбиваем всю область определения функции на промежутки :
,
,
,
,
,
и исследуем функцию для
. Информация о поведении функции на интервале (-2; 0) необходима для анализа функции в точке х=0.
Знак производной устанавливаем методом интервалов. По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Результаты исследований заносим в таблицу:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | Не сущест. | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | Возрас- тает | Нет экстре- мума | Возрас-тает | Не сущест. | Возрас-тает | Макс. ![]() | Убывает |
5. Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную: .
Находим точки, в которых или
не существуют:
при
и
не существует при
. Исследуем знак второй производной на промежутках
,
,
,
и результаты исследований представим в таблице:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | Не сущест. | ![]() | ![]() | ![]() | Не сущест. | ![]() |
![]() | Выпук-ла | Не сущест- вует | Вогну- та | Точка переги-ба | Выпук-ла | Не Сущест- вует | Вогну-та |
6. Найдем вертикальные асимптоты:
Исследуем поведение функции в окрестности точки :
=
=
=+
;
=
= -
.
Что касается точки , то в окрестности ее имеем:
;
;
Найдем наклонную асимптоту :
=
;
=
.
Таким образом, наша функция имеет наклонную асимптоту .
Аналогично проверяется, что эта же прямая будет для нее асимптотой и при ;
7. на основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.1).
Рис. 1
Задача 5. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение:
1. Область определения функции – вся числовая прямая.
2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:
а) с осью OX:
; так как
, то
,
т.е. точка пересечения с осью OX – начало координат O (0,0);
б) с осью OY: при
,
т.е. точка пересечения с осью OY – начало координат O (0,0).
Используя результаты, можно определить промежутки, на которых функция сохраняет знак.
Поскольку , то знак функции совпадает со знаком множителя
. Графически промежутки знакопостоянства функции изображены на рис.2.
__ +
0
3. Определим, является ли функция четной или нечетной:
=
.Ясно также что
.
То есть функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции с помощью первой производной.
=
.
Найдем возможные точки экстремума. Критические или подозрительные на экстремум точки определяются как точки, в которых или не существует:
=0.Так как
при любом
, то
.Следовательно,
или
.
Методом интервалов находим знаки первой производной (см. рис.3) .
+ __
2
Рис. 3
Из рис. 3 видно, что возрастает для
, так как для этих значений
выполняется неравенство
и
убывает для
, так как
при указанных значениях
.
При “переходе” через точку функция меняет знак с “ + “ на “ __ “, следовательно, в точке
функция достигает максимума.
Результаты исследования заносим в таблицу:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | Возрастает | Макс. 0,7 | Убывает |
5. Определим интервалы выпуклости и вогнутости функции, а также ее точки перегиба с помощью второй производной:
.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует:
=
.Отсюда
и, значит,
.
Применим метод интервалов. Находим знаки второй производной. (см. рис.4) .
__ +
4
Рис.4
Из рис.4 видно, что вогнута для
, так как на этом промежутке
и
выпукла для
, так как здесь
. Следовательно,
является точкой перегиба функции.
Поскольку 0,541, то точка
является точкой перегиба графика функции
.
Результаты исследования заносим в таблицу:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | - | + | |
![]() | Выпукла | Перегиб ![]() | Вогнута |
6. Найдем асимптоты графика функции.
Так как функция непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет.
Определим, имеет ли функция горизонтальные асимптоты.
Так как =
=
,то при
горизонталь-ной асимптоты нет. Далее,
=
=
=
.
Здесь мы применили правило Лопиталя.
Итак, при функция имеет горизонтальную асимптоту:
.
Определим, имеет ли функция наклонные асимптоты,которые представляются в виде .
Будем искать наклонную асимптоту при :
=
.Следовательно, при
наклонной асимптоты нет.
Рассмотрим теперь случай, когда .Поскольку при
функция имеет горизонтальную асимптоту, то искать наклонную асимптоту при
не имеет смысла.
Следовательно, функция имеет только одну асимптоту – горизонтальную при .
7. На основании полученных данных строим график функции (рис.5).
2 4
Рис.5
3. Наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке
Задача 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
.
Решение. Если функция непрерывна на замкнутом промежутке
, то наибольшее и наименьшее значения она принимает или на концах этого отрезка или в точках ее экстремума. Следовательно, для решения поставленной задачи надо найти ее значения на концах отрезка
и в точках, принадлежащих этому отрезку, подозрительных на экстремум. Затем из них выбрать наименьшее и наибольшее значения. Определяем критические, или стационарные, точки функции
:
;
;
;
,
.
Рассматриваем только те стационарные точки, которые принадлежат отрезку .
Такой точкой будет точка (точку
получаем при
).
Вычисляя значения функции на концах промежутка и в точке , находим:
1)
;
2) =
;
3) =
.
Ясно, что наибольшее значение функции будет равно , которое она принимает в точке
; наименьшее значение принимается функцией в точке
и равно
.