Реальное дифференцирующее звено (инерционно-дифференцирующее звено)

Звено, описываемое дифференциальным уравнением

, (3.52)

называется реальным дифференцирующим звеном или инерционно-дифференцирующим звеном. Преобразуя уравнение (3.52) по Лапласу и определив отношение изображения выходной величины к входной, получим передаточную функцию:

, (3.53)

Такое звено получается в результате встречно-параллельного включения пропорционального и интегрирующего звеньев так, как это показано на рисунке 3.5, а.

Реализовать инерционно-дифференцирующее звено на операционном усилителе можно, если принять:

, (3.54)

, (3.55)

Тогда получим передаточную функцию:

, (3.56)

где , .

Схема реализации интегро-дифференцирующего звена на операционном усилителе приведена на рисунке 3.5, б.

Инерционно-дифференцирующее звено можно реализовать также в виде четырехполюсника, представленного на рисунке 3.5, в. В этом случае передаточную функцию определим как отношение выходного и входного комплексных сопротивлений:

, (3.57)

где , .

Частотная передаточная функция

, (3.58)

Разделяя на вещественную и мнимую части, получим:

, (3.59)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика показана на рисунке 3.5,г. Она представляет собой полуокружность, лежащую в первом квадранте (звено создает опережающий эффект) и имеющую диаметром отрезок действительной оси от 0 до K.

Амплитудная и фазовая частотные характеристики звена (рисунок 3.5,д,е)

, (3.60)

, (3.61)

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет вид:

, (3.62)

и показана на рисунке 3.5, ж пунктирной линией.

Уравнение низкочастотной части характеристики получим, пренебрегая v²T² по сравнению с единицей:

, (3.63)

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом +20дб/дек, имеющую при частоте сопряжения ординату, равную 20lgK. Уравнение высокочастотной асимптоты получим, пренебрегая единицей по сравнению с v²T²

, (3.64)

Это уравнение описывает горизонтальную прямую, пересекающуюся с низкочастотной асимптотой при частоте v_с.

Учитывая (3.63) и (3.64) получим уравнение асимптотической ЛАХ

, (3.65)

Так же как и для апериодического звена, погрешность при замене точной ЛАХ (L) асимптотической (L_a) (рисунок 3.5, ж) имеет максимальное значение при частоте сопряжения и равна примерно 3 дб.

ЛАХ инерционно-дифференцирующего звена приведена на рисунке 3.5,з.

Сравнивая (3.30) и (3.65), можно заключить, что частотные характеристики идеального и реального дифференцирующего звена сближаются в области низких частот и расходятся в области высоких частот.

Переходная функция имеет вид

, (3.66)

и показана на рисунке 3.5,и.

Рисунок 3.5 Характеристики инерционно-дифференцирующего звена

Форсирующее звено

Форсирующим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением:

, (3.67)

Этому дифференциальному уравнению соответствует передаточная функция:

, (3.68)

Видно, что передаточная функция форсирующего звена обратна передаточной функции инерционного звена.

Форсирующее звено может быть представлено как сумма пропорционального и интегрирующего звена так, как это показано на рисунке 3.6, а. Форсирующее звено может быть реализовано с помощью операционного усилителя (рисунок 3.6, б), если

, (3.69)

, (3.70)

Тогда получим передаточную функцию

, (3.71)

где: , .

Частотная передаточная функция звена

, (3.72)

Этой функции соответствует амплитудно-фазовая частотная характеристика (рисунок 3.6, в) в виде прямой параллельной оси ординат и отстоящей от нее на расстоянии U(v)=K.

Амплитудная частотная характеристика

, (3.73)

Фазовая частотная характеристика

, (3.74)

Эти характеристики представлены соответственно на рисунке 3.6, г, д. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика форсирующего звена первого порядка

, (3.75)

Приближенно эта характеристика может быть заменена асимптотической, состоящей из двух отрезков:

, (3.76)

Из выражений (3.73)¸(3.76) и (3.41)¸(3.49) следует, что все выражения, выведенные для ЛАХ и ЛФХ апериодического звена, остаются справедливыми и для форсирующего звена первого порядка, если только учесть перемену знака. ЛАХ и ЛФХ форсирующего звена первого порядка показаны на рисунке 3.6, е, ж. Видно, что ЛАХ и ЛФХ форсирующего звена могут быть получены, как зеркальное отображение кривых (рисунок 3.6, ж, з) относительно оси частот.

Переходная и весовая функции форсирующего звена могут быть представлены как суммы соответствующих простейших звеньев (рисунок 3.1, ж, з) и (рисунок 3.3, ж).

, (3.77)

, (3.78)

где d(t)=1¢(t) - производная от дельта - функции или d-функция второго порядка. Производная от d-функции представляется в виде двух импульсов противоположного направления, интервал между которыми e стремится к нулю.

Рисунок 3.6 Характеристики форсирующего звена