Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 выяснить, образуют ли базис векторы Если образуют
В задачах 1-20 выяснить, образуют ли базис векторы 
Если образуют, то разложить вектор 
по этому базису:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
В задачах 21-40 задана матрица А линейного оператора в некотором базисе 
. Найти матрицу этого оператора в базисе 
.
21. А= 
22.А= 
23. А= 
24. А= 
25. А= 
26. А= 
27. А= 
28. А= 
29. А= 
30. А= 
31. А= 
32. А= 
33. А= 
34. А= 
35. А= 
36. А= 
37. А= 
38. А= 
39. А= 
40. А= 
В задачах 41-60 найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А. Привести матрицу А к диагональному виду:
41. А=
42. А=
43. А=
44. А=
45. А=
46. А=
47. А=
48. А=
49. А=
50. А=
51. А=52. А=
53. А=54. А=
55. А=
56. А=
57. А=
58. А=
59. А=
60. А=
В задачах 61-80 задана квадратичная форма 
:
1) найти матрицу А квадратичной формы в каноническом базисе (в матричном виде);
2) привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа (к сумме квадратов соответствующих координат выделением полных квадратов);
Доказать, что квадратичная форма А положительно или отрицательно определенная.
61. 
62. 
63. 
64. 
65. 
66. 
67. 
68. 
69. 
70. 
71. 
72. 
73. 
74. 
75. 
76. 
77. 
78. 
79. 
80. 
Аналитическая геометрия на плоскости.
Литература: [1] гл.4; [2] гл.7-8; [3] гл.3; [4] гл.3; [5] гл.1; [6] гл.4.
Разберите решение задачи 10.
Даны координаты вершин треугольника АВС: А(1,5); В(-4,0); С(4,-4).
1) составить уравнения медианы АD, высоты АЕ;
2) найти длину высоты АЕ и медианы АD;
3) определить угол между высотой АЕ и медианой АD;
4) составить уравнение средней линии DМ параллельной стороне АС;
5) составить уравнение окружности, проходящей через точки А, В, С;
Составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Решение.
1.
 |
Уравнение медианы АD определяем по формуле
Где точка D делит отрезок ВС пополам.
Координаты точки D:
,D(0; -2)
Тогда, 
или 
(АD)
Для составления уравнения высоты АЕ воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых ВС и АЕ: 
.
Угловой коэффициент прямой ВС найдем по координатам точек В и С:
тогда 
.
Составим уравнение высоты АЕ, используя уравнение прямой, проходящей через точку А в заданном направлении:
или 
(АЕ)
2. Длину высоты АЕ определяем, используя формулу для определения расстояния точки А (1;5) от прямой ВС:
где (хо; уо) – координаты точки А (1;5);
А,В,С – коэффициенты уравнения прямой ВС.
Угловой коэффициент прямой ВС Квс = 
.
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку в заданном направлении:
у-ув = Квс (х-хв)
у-0 = (х+4); 2у=-х-4 или х+2у+4=0.
Отсюда А=1; В=2; С=4.
.
Длину медианы АD определим, используя формулу для определения расстояния между двумя точками А и D:
.
3. Угол между высотой АЕ и медианой АD находим, используя формулу
,
где К1 – угловой коэффициент прямой АЕ, К1=2;
К2 – угловой коэффициент прямой АD находим из уравнения 7х-у-2=0, разрешив его относительно у: у=7х-2, отсюда К2=7.
.
4. Средняя линия DМ треугольника АВС проходит через середины сторон ВС и АВ, т.е. проходит через точки D и М:
М 
.
Уравнение средней линии запишем используя уравнение прямой, проходящей через две точки:
; 
;
9х+3у+6=0 или 3х+у+2=0 (DМ).
5. Уравнение окружности радиусаR c центром в точке Q (хо;уо) имеет вид: (х-хо)2+(у-уо)2 = R2 . так как точки А,В и С лежат на окружности, то их координаты должны удовлетворять этому уравнению:
Из первого уравнения вычтем второе уравнение, затем из первого уравнения вычтем третье уравнение. Из полученных уравнений составим систему уравнений:
или 
Решаем полученную систему уравнений по формулам Крамера:
; 
Тогда 
. Q (1;0).
Найдем радиус окружности, подставив найденные значения хо=1 и уо=0 в любое из трех уравнений:
(1-1)2+(5-0)2=R2,
Отсюда R2 =25, R=5.
Уравнение окружности (х-1)2+у2 =25.
6. Для составления системы линейных неравенств, определяющих треугольник АВС,составим уравнения сторон треугольника АВС.
Уравнение стороны АВ определим по формуле: 
, 
или 
, 
.
Уравнение стороны ВС определим по формуле: 
, 
, 
, 
, 
.
Уравнение стороны АС определим по формуле: 
, 
, 
, 
, 
.
Областью решений неравенства является полуплоскость. Областью решений системы неравенств является треугольник, ограниченный полуплоскостями. Для составления неравенства выбираем произвольную точку, лежащую в какой-либо из полуплоскостей. Лучше выбрать точку начала координат (0;0). Подставляем (0;0) в первое уравнение , получим 
, т.е. получаем неравенство 
. Аналогично получим 
и
.
Таким образом, система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:
На рис.1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображены треугольник АВС, медиана АD, высота АЕ, биссектриса АF и окружность, проходящая через точки А, В, С и система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Рис. 1. Графическое пояснение к задаче 10