Задачи для самостоятельного решения. 2. Векторы и взаимно перпендикулярны
1. Даны 
. Вычислить 
. (Ответ: 16)
2. Векторы 
и 
взаимно перпендикулярны. Зная, что 
вычислить: 1) 
2) 
. (Ответ: 1) 24; 2) 60)
3. Какому условию должны удовлетворять векторы 
, чтобы векторы 
и 
были коллинеарны? (Ответ: 
)
4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, где 
и 
(Ответ: 37,5 кв.ед.)
5. Разложить вектор 
по взаимно перпендикулярным ортам 
, образующим правую тройку. (Ответ: 
)
6. Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами треугольника 
и 
, вычислить площадь треугольника.
(Ответ: 
кв.ед.)
7. Даны вершины треугольника 
и 
. Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. (Ответ: 5)
8. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на данных векторах 
и 
.
(Ответ: 
)
9. Вектор 
, перпендикулярный к векторам 
и 
, образует с осью Оу тупой угол. Зная, что 
, найти его координаты. (Ответ: 
)
10. Вектор 
, перпендикулярный к оси Oz и к вектору 
, образует острый угол с осью Ох. Зная, что 
, найти его координаты. (Ответ: 
)
11. Векторы 
, образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что 
, вычислить 
.
(Ответ: 24)
12. Вектор 
перпендикулярен к векторам и , угол между и равен 30о. Зная, что 
, вычислить . (Ответ: 
)
13. Доказать тождество 
14. Доказать, что векторы , удовлетворяющие условию 
, компланарны.
15. Доказать, что точки А(1;2;-1), В(0;1;5), С(-1;2;1), D(2;1;3) лежат в одной плоскости.
16. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на трех данных векторах 
и 
, и исследовать, образуют ли векторы левую или правую тройку. (Ответ: 
куб.ед., левая тройка)
17. Объем тетраэдра 
, три его вершины находятся в точках А(2;1;-1), В(3;0;1), С(2;-1;3). Найти координаты четвёртой вершины D, если известно, что она лежит на оси Оу. (Ответ: 
)
18. Найти вектор , одновременно удовлетворяющий трем уравнениям: 
. (Ответ: 
)
Прямая на плоскости
Уравнение вида 
(1) называется уравнением прямой, проходящей через точку 
и имеющей нормаль 
(нормаль или нормальный вектор— это вектор, перпендикулярный прямой).
Уравнение (1) приводится к общему уравнению прямой:
, (2)
где 
.
Уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент 
:
, (3)
где 
( 
— угол наклона прямой к оси Ох).
Уравнение прямой c угловым коэффициентом:
(4)
где 
— величина отрезка, который прямая отсекает на оси Оу, считая от начала координат.
Уравнение прямой, проходящей через две точки точки 
и 
:
, (5)
или
, (6)
где 
— направляющий вектор прямой; (6) – каноническое уравнение прямой.
Угловой коэффициент прямой (5) вычисляется по формуле:
. (7)
Один из углов между двумя прямыми вычисляется по формуле:
, (8)
где 
и 
— угловые коэффициенты прямых.
Условие параллельности двух прямых:
. (9)
Условие перпендикулярности прямых:
, или 
. (10)
Если ни один из коэффициентов уравнения (2) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду:
, (11)
где 
— величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях Ох и Оу соответственно. Уравнение (11) называется уравнением прямой в «отрезках».
Нормальное уравнение прямой имеет вид:
(12)
где p — длина нормали, опущенной из начала координат на данную прямую; — угол между нормалью и осью Ох.
Уравнение (2) можно привести к уравнению (12); для этого его нужно умножить на нормирующий множитель 
:
(13)
Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена С уравнения (2).
Пусть дана какая-нибудь прямая l и произвольная точка 
― расстояние от точки 
до прямой l. Отклонением 
точки от прямойl называется число 
, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой l, и 
, если и начало координат расположены по одну сторону от прямой l (если 
, то 
). Отклонение вычисляется по формуле:
(14)
или
. (15)
Чтобы найти расстояниеd от точки до прямой, нужно вычислить отклонение и взять его модуль: 
, т.е.
. (16)
Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром S.
Если 
и 
- уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S, то уравнение
(17)
где 
― любые числа, не равные одновременно нулю, определяет прямую, также проходящую через точку S. Уравнение (17) ― уравнение пучка прямых (с центром в точке S).
Рассмотрим задачи.
Задача. Точка E(1;-1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 
Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.
Решение. Пусть сторона 
. Диагонали AC и BD являются биссектрисами углов квадрата. Используя формулу (8), найдем угловой коэффициент одной из диагоналей:
; 
; 
.
Зная 
, точку 
и применив (3), найдем уравнение диагонали АС: 
; 
Решив систему уравнений прямых АВ и АС, найдем вершину А:
т.е. А(-8;2).
Т.к. 
, то, согласно (10), 
следовательно, 
Точка Е является серединой АС. Используем формулу (11) из § 2 
:
.
Выражаем 
: 
, 
; т.е. С(10;-4).
(опираясь на (9)); найдем уравнение DC:
, 
.
Аналогично, ВС: 
, 
.
Ответ: 
.
Задача. Составить уравнение сторон треугольника, зная одну его вершину В(2;6), а также уравнения высоты 
и биссектрисы 
, проведенных из одной вершины.
Решение. Координаты точки В не удовлетворяют уравнениям высоты и биссектрисы.
Пусть высота СН: ,
биссектриса CD: 7x+y+5=0.
Найдем вершину C:
т.е. С(-1;2).
Составим уравнение стороны ВС, используя формулу (5):
;
т.е. 
Из определения биссектрисы следует, что если на одной из сторон угла С дана точка В, то точка В*, симметричная точке В относительно биссектрисы CD этого угла, лежит на другой его стороне СА (см. рис.).
Таким образом, имеем:
1) 
2) точка 
т.е. 
3) найдем точку В*: 
т.е. В*(-5;5).
Уравнение стороны СА: 
т.е. СА: 
Ответ: 
Задача. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(8;6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.
Решение. Запишем уравнение искомой прямой «в отрезках»:
(11)
Если найдем значения параметров a и b, задача будет решена. Т.к. точка Р лежит на искомой прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению (11):
или 
Площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла, определяется формулой: 
, т.к. отрезки a и b могут быть как одного, так и разных знаков. Согласно условию задачи, имеем: 
Решим систему уравнений: 
Получим: 
Таким образом, условию задачи удовлетворяют две прямые: 
и 
Задача. Найти уравнение биссектрисы CD треугольника АВС, заданного координатами своих вершин: А(2;-1), В(-1;3), С(2;4).
Решение. Составим уравнения сторон АС и СВ:
Биссектриса – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Пусть М(х;у) — каждая точка биссектрисы CD, тогда 
или, применяя формулу (16), запишем:
Раскрывая модули, получим уравнения двух прямых:
Одна из этих прямых является биссектрисой внутреннего угла, т.е. совпадает с CD, а другая – внешнего угла треугольника АВС.
Точки А и В должны находиться по разные стороны от прямой CD, т.е. отклонения 
и 
имеют разные знаки 
. Оценим знаки этих отклонений 
и 
, используя формулу (15):
,
т.е. точки А и В лежат по одну сторону от прямой 
. Следовательно, - биссектриса внешнего угла при вершине С.
Ответ: 
Задача. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 
и отсекающей на оси ординат отрезок 
Решить задачу, не определяя координат точки пересечения данных прямых.
Решение. Запишем уравнение пучка данных прямых:
,
т.е. 
- координаты нормали прямой пучка. Т.к. 
, то 
(по условию задачи),
. Пусть 
, тогда 
.
Подставляя в уравнение пучка, найдем уравнение искомой прямой: 
.