Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители:

В задачах 1- 8 вычислить определители:

1.Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .2.Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .3.Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .

4.Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru5.Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru6. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

7. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru8. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

9. Доказать справедливость равенств:

1)Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru ;

2) Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

10. Решить уравнения:

1) Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru 2) Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

11. Решить неравенства:

1) Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru 2) Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Ответы: 1.-4.2.180.3.87.4.0.5. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru . 6. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .

7.xyz(x-y)(y-z)(z-x).8. (a+b+c)( Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .

10. 1) х=-3; 2) Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Занятие 2. Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Действия над матрицами

Определения

Система m линейных уравнений с n неизвестными (переменными) Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru имеет вид

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru (2.1)

Здесь Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru -произвольные числа (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., n), которые называются соответственно коэффициентамипри неизвестных и свободными членами уравнений (2.1). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, и второй индекс соответствует номеру неизвестного Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .

Решением системы уравнений (2.1) называется набор n чисел Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Системы уравнений (2.1) называются совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.

Системы уравнений вида (2.1) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям относятся:

1) вычеркивание уравнения Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru -нулевой строки;

2) перестановка уравнений или слагаемых Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru в уравнениях

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число.

Решение систем линейных уравнений

По формулам Крамера

Рассмотрим частный случай системы (4.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т. е. m=n. Система уравнений имеет вид

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru (2.2)

Составим квадратную матрицу А 3-го порядка этой системы:

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru (2.3)

Составим определитель матрицы системы А:

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , (2.4)

который называется также определителем системы.

Теорема.(теорема Крамера). Пусть Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru - определитель матрицы системы А, а Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru -определитель полученный из определителя Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru заменой j-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда:

1) если Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , система линейных уравнений (2.2) имеет единственное решение, определяемое по формулам

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru (2.5)

2) если Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru и все Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , то система имеет бесчисленное множество решений;

3) если Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru и хотя бы один из дополнительных определителей Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , то система решений не имеет.

Формулы вычисления неизвестных (2.5) – решения системы (2.2) –носят название формул Крамера.

Пример 2.1. Найти решение системы уравнений

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Решение.Решим систему, применяя формулы Крамера. Определитель системы:

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru = Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru =

=1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) = -18 + 8 + 51 = 41.

Определитель системы: Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.

Вычисляем определители: Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru ; Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru ; Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru :

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Тогда: Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .

Однородные системы

Однородной называется система вида

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru (2.5)

Очевидно, что всякая однородная система имеет решение

x= 0, y=0, z= 0, называемое нулевым Теорема Крамера изменится:

1) если Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , система однородных линейных уравнений (2.5) имеет только нулевое решение;

2) если Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , система имеет бесчисленное множество решений;

Запишем эти решения. Пусть Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru Перепишем систему уравнений

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

И решим ее по формулам Крамера

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .

Переменная Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru может быть выбрана произвольно, а две другие переменные находятся по полученным формулам. Система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 2.2. Решить систему уравнений

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Определитель системы равен нулю. Система имеет бесчисленное множество решений. Перепишем систему

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Решим полученную систему по формулам Крамера.

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru Придавая z различные значения, получим бесчисленное множество решений.

Действия над матрицами

1. Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Представим это в сокращенной записи. Пусть

А= Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , В = Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru ; i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Тогда сумма этих матриц С = А + В имеет вид

С= Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Пусть А, В, С – матрицы, имеющие одинаковый размер. Операция суммирования матриц обладает следующими свойствами

1.

А+В=В+А.

2. (А+В)+С=А+(В+С).

3. А+О=А, где О – нулевая матрица.

Пример 2.3. Пусть даны матрицы А и В:

А = Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , В= Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .

Тогда их суммой, согласно определению, является матрица

С = Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , С= Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .

2. Произведением матрицы А на число Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru называется матрица В=А, которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru : Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Пусть А, В, С – матрицы, имеющие одинаковый размер, а Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru - некоторые вещественные числа. Тогда:

1. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

2. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

3. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

4.ОА=О, где О – нулевая матрица.

Пример 2.4. Пусть даны матрица А и число Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru :

А= Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru =2.

Тогда произведением матрицы А на число Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru является матрица

С = Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .

3.Произведением АВ двух квадратных матриц А и В одного порядка называется третья квадратная матрица С того же порядка, составленная по следующему правилу: элемент Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , стоящий в матрице С на пересечении k-й строки с l-м столбцом, есть сумма произведений элементов Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru строки матрицы А на соответствующие элементы l-го столбца матрицы В:

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru . (2.6)

Определение произведения можно распространить на неквадратные матрицы, у которых число столбцов матрицы множимого А равно числу строк матрицы множителя Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru . При соблюдении этого условия множимого А может иметь любое число (m) строк, а матрица В – любое число (n) столбцов. Матрица С = АВ будет иметь m строк и n столбцов, ее элементы вычисляются по формуле (2.6).

Пример 2.5. Найти произведения АВ и ВА матриц

А = Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , В = Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Решение. По формуле (2.6) получаем элементы

матрицы АВ:

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Итак,

АВ = Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru ;

По формуле (2.6) получаем элементы матрицы ВА:

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Итак, ВА= Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .

Сравнивая матрицы АВ и ВА и пользуясь определением равенства матриц, заключаем, что Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .

Пример 2.6. Найти произведения АВ матриц

А = Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , В = Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .

Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru , поэтому можно умножать матрицу А на матрицу Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru . По формуле (2.6) находим:

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru

Следовательно:

АВ = Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru .

Пусть А, В и С – матрицы соответствующих размеров (чтобы произведение матриц были определены), а Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru - действительное число. Тогда имеют место следующие свойства произведения матриц:

1. АВ Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru ВА

2. (АВ)С = А(ВС).

3. (А + В)С = АС + ВС.

4. А(В + С) = АВ + АС.

5. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru (АВ) = ( Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru А)В = А( Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru В).

Нетрудно убедиться, что в алгебре квадратных матриц единичная матрица Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители: - student2.ru играет роль единицы, т.е. можно отметить еще два свойства, связанных с умножением на эту матрицу слева и справа:

6. АЕ = А.

7. ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений?

2. Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие – несовместными?

3. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

4. При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?

5. Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее определитель равен нулю?

6. При каком условии система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?

7. Как определяются линейные операции над матрицами и каковы их свойства?

8. Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения матриц?

Наши рекомендации