Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить:

В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы;

В) методом Гаусса.

1. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 2. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

3. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 4. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

5. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 6. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

7. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 8. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

9. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 10. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

11. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 12. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

13. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 14. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

15. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 16. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

17. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 18. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

19. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 20. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

В задачах 21–40 найти общее решение однородной системы линейных уравнений и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства):

21.Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru22. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

23. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 24. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

25. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 26. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

27. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 28. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

29. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 30. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

31. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 32. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

33. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 34. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

35. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 36. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

37. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 38. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

39. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru 40. Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

Литература: [1] гл.3, §3.1; [2] гл.1, §1.1-1.3;гл.9, [3] гл.2, §5-8, гл.4; [4] гл.4; [5] гл.2; [6] гл.4, §1.

Разберите решение задачи 4.

Вычислить объем тетраэдра (пирамиды) с вершинами А1(2;3;1), А2(4;1;-2), А3(6;3;7), А4(-5;-4;8), его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3. Определить угол между гранями А1А2А3 и А1А2А4.

___

Решение. Из вершины А1 проведем векторы А1А2={x2-x1;y2-y1;z2-z1}=

___ ___ ___

{4-2;1-3;-2-1}. Имеем А1А2 ={2;-2;-3}. А1А3={4;0;6}. А1А4={-7;-7;7}.

Вычисляем смешанное произведение векторов

___ ___ ___ ½ 2 -2 -3 ½

А1А2.А1А3.А1А4= ½ 4 0 6 ½=308

½-7 -7 7 ½

и вычисляем объем тетраэдра по формуле

___ ___ ___

V тетр.=(1/6)Vпар.=(1/6)(А1А2.А1А3.А1А4),

где V тетр и Vпар – объемы тетраэдра и параллелепипеда, построенных на

___ ___ ___

векторах А1А2, А1А3, А1А4 .

Итак объем тетраэдра V тетр.=(1/6)Vпар = 308/6=154/3 (куб. единиц объема).

С другой стороны V тетр.=(1/3) S D(А1А2А3).Н, (2)

___ ___

где S D(А1А2А3)=(1/2)½А1А2 х А1А3 ½.

Сравнивая формулы (1) и (2), получим

 
  Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

Для определения высоты Н тетраэдра необходимо вычислить модуль векторного произведения. Вычисляем координаты векторного произведения

Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru
и его модуль

 
  Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

Находим высоту Н по формуле (3)

Н=308/28=11 (ед. длины)

Для определения угла между плоскостями необходимо записать координаты нормальных векторов к этим плоскостям, затем определить косинус угла по формуле

Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

Высота Н является нормальным вектором к плоскости треугольника А1А2А3 .

_

Координаты вектора n1={-12;-24;8} .

Запишем уравнение плоскости А1А2А4, как уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:

Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

Подставим координаты точек А1, А2, А4

Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru или Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

Разложим определитель по элементам 1 строки:

(х-2)(-14-21) - (у-3)(14-21) + (z-1)(-14-14) = 0

(х-2)(-35) + (у-3)7 + ( z-1)(-28) = 0

-35х+7у-28z+77 = 0

или 5х-у+4z-11=0

В качестве нормального вектора плоскости А1А2А4 можно взять

_

нормальный вектор n2={5;-1;4} .

Острый угол между плоскостями определим по формуле (4)

Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru

Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить: - student2.ru .

Вопросы для самопроверки

1. Какие величины называются скалярными? векторными?

2. Какие векторы называются коллинеарными?

3. Какие два вектора называются равными?

4. Как сложить два вектора? Как их вычесть?

5. Как найти координаты вектора по координатам точек его начала и конца?

6. Назовите правила сложения, вычитания векторов, заданных в координатной форме.

7. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

8. Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам?

9. Напишите формулу для определения угла между двумя векторами.

10. Напишите условия: коллинеарности двух векторов; их перпендикулярности.

11. Напишите формулы длины вектора, рас­стояния между двумя точками в декартовой системе координат.

12. Дайте определение векторного произведения двух векторов, его свойства, вы­ражение через координаты перемножаемых векторов.

13. Дайте определение смешанного произведения трёх векторов, его свойства, вы­ражение через координаты перемножаемых векторов.

Наши рекомендации