Задачи для самостоятельного решения. В задачах 2.3.3-2.3.4 найти и . 2.3.3
В задачах 2.1.1-2.1.2. найти матрицы и .
2.3.1. , . | 2.3.2. , . |
В задачах 2.3.3-2.3.4 найти и .
2.3.3. , . | 2.3.4. , . |
В задачах 2.3.5-2.3.6 найти и .
2.3.5. , . | 2.3.6. , . |
2.3.7.Найти и , если , .
2.3.8.Найти , если , .
2.3.9.Для матрицы найти и .
2.3.10.Для матрицы найти и .
2.3.11.Для матриц и найти , , …, и ,
2.3.12.Для матрицы найти ,
2.3.13.Известно, что , где – -матрица, а – -матрица. Найти размеры матрицы .
2.3.14.Известно, что , где – -матрица, а – -матрица, а – -матрица. Найти , и .
2.3.15.Пусть , и . Существуют ли следующие произведения:
a) , | b) , | c) , | d) , | e) , | f) . |
2.3.16.Даны матрицы , и и . Существуют ли следующие произведения:
a) , | b) , | c) , |
d) , | e) , | f) , |
g) | h) , | i) . |
В задачах 2.3.17-2.3.18 для матрицы найти обратную матрицу .
2.3.17. . | 2.3.18. . |
В задачах 2.3.19-2.2.20 выяснить является ли матрица обратимой.
2.3.19. . | 2.3.20. . |
В задачах 2.3.21-2.2.22 найти матрицу, обратную к заданной.
2.3.21. . | 2.3.22. . |
2.3.23.Решить матричное уравнение , где , .
2.3.24.Решить матричное уравнение , где , .
2.3.25.Упростить выражение , где и – квадратные матрицы одного порядка.
2.3.26.Пусть – квадратная матрица с ненулевым определителем.
1) Упростить выражение для матрицы ;
2) доказать, что .
2.3.27.Пусть – квадратная матрица второго порядка с ненулевым определителем. Найти .
2.3.28.Пусть – квадратная матрица третьего порядка с . Найти .
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Основные понятия и формулы
Система линейных уравнений и ее матричная запись
Система линейных уравнений с неизвестными (или просто линейная система) имеет вид
(3.1)
где – коэффициенты системы и , ,…, – свободные члены – заданные числа.
Введем основную матрицу системы, матрицу-столбец неизвестных и матрицу-столбец свободных членов:
, и .
В этих обозначениях линейную систему (3.1) можно записать в виде одного матричного уравнения
. ( )
Решением линейной системы (3.1) называется любой упорядоченный набор чисел – матрица-столбец , при подстановке которых в систему на место неизвестных получаем верные равенства.
Линейная система может быть несовместна – не иметь решений, совместна – иметь хотя бы одно решение. Совместная система может быть определенной – иметь единственное решение и неопределенной – иметь более одного решения.
Невырожденные квадратные линейные системы.
Матричное решение. Формулы Крамера
Линейную систему (3.1) с числом уравнений равным числу неизвестных будем называть квадратной, поскольку квадратной является основная матрица системы, и невырожденной, если , то есть основная матрица обратима.
Теорема Крамера. Невырожденная квадратная система имеет единственное решение. Его можно найти в матричном виде по формуле
(3.2)
или по формулам Крамера
, , (3.3)
являющимися поэлементной записью матричного равенства (3.2).